Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=2 n a_{n-1}+a_{n-2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a relação
a_{n} = 2\,n\,a_{n-1} + a_{n-2}
é uma recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes, e em caso afirmativo determinar seu grau.

Passo 2

Por definição, uma recorrência é dita linear e homogênea com coeficientes constantes se pode ser escrita como
a_{n} = c_{1}\,a_{n-1} + c_{2}\,a_{n-2} + \cdots + c_{k}\,a_{n-k},
onde c_{1},c_{2},\dots,c_{k} são números fixos, não dependentes de n. O grau (ou ordem) dessa recorrência é k.

Passo 3

Na relação dada, o coeficiente de a_{n-1} é 2\,n, que depende de n. Isso significa que não temos coeficientes constantes.

Passo 4

Mesmo assim, a relação é linear (cada termo aparece multiplicado por um coeficiente e somado) e homogênea (não há termo independente), e envolve até a_{n-2}. Logo seu grau é 2, mas não possui coeficientes constantes.

Resposta

A relação não é de coeficientes constantes (pois o coeficiente é 2n), mas é linear e homogênea de grau 2.

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