Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4 cm , estando a base do retângulo num lado do triângulo.
Passo 1
O enunciado pede o retângulo de maior área inscrito num triângulo equilátero de lado
,cm, com a base do retângulo apoiada em um lado do triângulo. Vamos usar similaridade de triângulos para relacionar a largura do retângulo com sua altura e então otimizar a área em função de uma só variável, usando derivada.
Passo 2
Primeiro achamos a altura do triângulo equilátero de lado
,cm. Em todo triângulo equilátero a altura vale
Passo 3
Se chamarmos de
a altura do retângulo, ao subir essa distância dentro do triângulo sobra uma “semelhança” com o triângulo original: a largura do retângulo é a largura do triângulo a uma fração
. Logo a base
do retângulo é
A área
do retângulo em função de
é
Passo 4
Para maximizar
calculamos a derivada e igualamos a zero:
Verificando que é máximo (segunda derivada negativa), tomamos
.
Passo 5
Substituindo
em
, vem
Resposta
O retângulo de maior área tem base
,cm e altura
,cm.