Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4 cm , estando a base do retângulo num lado do triângulo.

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior área inscrito num triângulo equilátero de lado 4,cm, com a base do retângulo apoiada em um lado do triângulo. Vamos usar similaridade de triângulos para relacionar a largura do retângulo com sua altura e então otimizar a área em função de uma só variável, usando derivada.

Passo 2

Primeiro achamos a altura do triângulo equilátero de lado 4,cm. Em todo triângulo equilátero a altura vale
H = raiz32 times 4 = 2raiz3

Passo 3

Se chamarmos de y a altura do retângulo, ao subir essa distância dentro do triângulo sobra uma “semelhança” com o triângulo original: a largura do retângulo é a largura do triângulo a uma fração H - yH. Logo a base x do retângulo é
x = 4;H - yH = 4l(1 - y2raiz3r)
A área A do retângulo em função de y é
A(y) = xcdot y = 4l(1 - y2raiz3r),y = 4y - 2raiz3,y^2

Passo 4

Para maximizar A(y) calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(y) = 4 - 4raiz3,y = 0 Longrightarrow y = raiz3
Verificando que é máximo (segunda derivada negativa), tomamos y=raiz3.

Passo 5

Substituindo y=raiz3 em x=4(1 - y/(2raiz3)), vem
x = 4l(1 - raiz32raiz3r) = 4l(1 - tfrac12r) = 2

Resposta

O retângulo de maior área tem base 2,cm e altura raiz3,cm.

Exercícios de Livros Relacionados