Determine a solução geral de:
x 2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^2y''+3x,y'+y=0, x>0
Este é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy (equidimensional). Para resolver, vamos usar o palpite da forma y=x^r.

Passo 2

Assumindo y=x^r, calculamos as derivadas:
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2

Passo 3

Substituindo em ;x^2y''+3x,y'+y=0:
x^2l(r(r-1)x^r-2r)+3xl(r,x^r-1r)+x^r=0
Longrightarrow r(r-1)x^r+3r,x^r+x^r=0
Longrightarrow l[r(r-1)+3r+1r]x^r=0

Passo 4

A parte entre colchetes é a equação característica:
r(r-1)+3r+1=0 Longrightarrow r^2+2r+1=0 Longrightarrow (r+1)^2=0
Logo, há raiz dupla r=-1.

Passo 5

Para raiz dupla r=-1, a forma geral da solução é
y=C1x^r+C2x^rln(x)
logo,
y=C1x^-1+C2x^-1ln(x)

Resposta

y=C1x^-1+C2x^-1ln(x), C1,C2inR

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