Determine todos os números primos p para os quais a equação x^3+y^3=p possui solução nos inteiros positivos.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os primos p tais que a equação
x^3 + y^3 = p
tenha solução em inteiros positivos x,y.
O conteúdo principal aqui é fatorar a soma de cubos e usar que p é primo para limitar as possibilidades.

Passo 2

Recordando a fatoração da soma de cubos, temos
x^3 + y^3 = (x+y)l(x^2 - xy + y^2r),
Como o produto acima é igual ao primo p, os dois fatores positivos (x+y) e l(x^2-xy+y^2r) só podem ser 1 e p, em alguma ordem.

Passo 3

Verificamos as duas possibilidades de repartição:
  1. x+y = 1 e x^2-xy+y^2 = p.
  2. x+y = p e x^2-xy+y^2 = 1.

Passo 4

A primeira opção, x+y=1, é impossível em inteiros positivos, pois isso exigiria x>=1, y>=1 e, portanto, x+y>=2. Logo descartamos esse caso.

Passo 5

Na segunda opção, temos
x^2-xy+y^2 = 1 e x+y = p,
Em inteiros positivos, a única forma de
x^2-xy+y^2=1
ocorre quando x=y=1, pois para valores maiores a expressão cresce. Substituindo x=y=1 em x+y=p 1+1=p, ou seja p=2.

Resposta

O único número primo p que satisfaz x^3+y^3=p em inteiros positivos é 2.

Exercícios de Livros Relacionados