Determine todos os números primos
para os quais a equação
possui solução nos inteiros positivos.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os primos
tais que a equação
tenha solução em inteiros positivos
.
O conteúdo principal aqui é fatorar a soma de cubos e usar que é primo para limitar as possibilidades.
O conteúdo principal aqui é fatorar a soma de cubos e usar que
Passo 2
Recordando a fatoração da soma de cubos, temos
Como o produto acima é igual ao primo
, os dois fatores positivos
e
só podem ser
e
, em alguma ordem.
Passo 3
Verificamos as duas possibilidades de repartição:
-
e . -
e .
Passo 4
A primeira opção,
, é impossível em inteiros positivos, pois isso exigiria
,
e, portanto,
. Logo descartamos esse caso.
Passo 5
Na segunda opção, temos
Em inteiros positivos, a única forma de
ocorre quando
, pois para valores maiores a expressão cresce. Substituindo
em
dá
, ou seja
.
Resposta
O único número primo
que satisfaz
em inteiros positivos é
.