Determine o valor extremo absoluto para cada função no intervalo. Então esboce o gráfico da função, identi-
fique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua as coordenadas.
17. f(x)=4-x^{2}, \quad-3 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos de f(x)=4 - x^2 no intervalo fechado [-3,1] e depois esboçar o gráfico, marcando os pontos onde esses extremos ocorrem. O conteúdo que vamos usar envolve derivada para achar pontos críticos e comparação de valores em pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4 - x^2\bigr) = -2x.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
-2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
Esse ponto está dentro de [-3,1], logo é candidato a extremo.

Passo 4

Avaliamos f nas extremidades e no ponto crítico:
f(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5,
f(0) = 4 - 0^2 = 4,
f(1) = 4 - 1^2 = 3.

Passo 5

Comparamos os valores:
  • O maior valor é f(0)=4, logo há máximo absoluto em (0,4).
  • O menor valor é f(-3)=-5, logo há mínimo absoluto em (-3,-5).
    O valor em x=1 é 3, não é extremo global no intervalo.

Passo 6

Esboço do gráfico:
A curva é uma parábola de concavidade voltada para baixo, com vértice em (0,4). Nos limites do domínio temos os pontos (-3,-5) (mínimo) e (1,3). O contorno do gráfico no intervalo é
(-3,-5) \to sobe até (0,4) \to desce suavemente até (1,3).

Resposta

Máximo absoluto: f(0)=4 no ponto (0,4).
Mínimo absoluto: f(-3)=-5 no ponto (-3,-5).

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