Determine o valor-verdade de cada uma destas proposições, se o domínio de cada variável forem todos os números reais.
\forall x\left(x^{2}+2 \geq 1\right)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a verdade da proposição \forall x\,(x^{2}+2\ge 1)
no domínio de todos os números reais. Aqui o conteúdo é lógica de predicados com quantificador universal e usaremos a propriedade básica de que, para todo real x, \,x^{2}\ge0.

Passo 2

Sabemos que, para qualquer x\in\mathbb{R},
x^{2}\ge0.
Somando 2 em ambos os lados, obtemos
x^{2}+2\ge0+2=2.

Passo 3

Como 2\ge1, segue que
x^{2}+2\ge2\ge1
para todo x\in\mathbb{R}. Logo a condição x^{2}+2\ge1 é satisfeita por qualquer real.

Resposta

A proposição \forall x\,(x^{2}+2\ge 1) é verdadeira.

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