Determine o valor-verdade de cada uma destas proposições, se o domínio para todas as variáveis forem todos os números inteiros.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a proposição
onde o domínio de
é o conjunto de todos os inteiros. O conteúdo é análise de inequação quadrática e avaliação de um quantificador universal.
Passo 2
Reescrevemos a desigualdade de forma a analisar seu sinal:
Para que o produto
seja não negativo, ou ambos os fatores são não negativos, ou ambos são não positivos.
Passo 3
Analisando os casos para
:
- Se
, então e , logo . - Se
, então e , mas como ambos os fatores têm sinal não positivo, o produto também é não negativo.
Essas duas faixas
ou
cobrem exatamente todos os inteiros.
Passo 4
Como todo inteiro
satisfaz
, concluímos que a proposição
é verdadeira.
Resposta
A proposição é verdadeira.