Determine o valor-verdade de cada uma destas proposições, se o domínio para todas as variáveis forem todos os números inteiros.
\forall n\left(n^{2} \geq n\right)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a proposição
\forall n\,(n^2 \ge n)
onde o domínio de n é o conjunto de todos os inteiros. O conteúdo é análise de inequação quadrática e avaliação de um quantificador universal.

Passo 2

Reescrevemos a desigualdade de forma a analisar seu sinal:
n^2 \ge n \quad\Longleftrightarrow\quad n^2 - n \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad n(n-1)\ge 0.
Para que o produto n(n-1) seja não negativo, ou ambos os fatores são não negativos, ou ambos são não positivos.

Passo 3

Analisando os casos para n\in\mathbb{Z}:
  • Se n\ge1, então n\ge1 e n-1\ge0, logo n(n-1)\ge0.
  • Se n\le0, então n\le0 e n-1<0, mas como ambos os fatores têm sinal não positivo, o produto n(n-1) também é não negativo.
Essas duas faixas n\le0 ou n\ge1 cobrem exatamente todos os inteiros.

Passo 4

Como todo inteiro n satisfaz n(n-1)\ge0, concluímos que a proposição
\forall n\,(n^2 \ge n)
é verdadeira.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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