Determine o valor-verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais.
\forall x\left((-x)^{2}=x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a proposição
\forall x\bigl((-x)^2 = x^2\bigr)
com domínio todos os números reais. O conteúdo envolve quantificadores universais e propriedades da potenciação em \mathbb{R}.

Passo 2

Interpretamos a proposição como \forall x\in\mathbb{R},\,P(x), onde P(x) é a igualdade (-x)^2 = x^2. Para ser verdadeira, P(x) deve valer para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para um x arbitrário em \mathbb{R}, calculamos:
(-x)^2 = (-x)\cdot(-x)
e, como o produto de dois números negativos é positivo,
(-x)\cdot(-x) = x\cdot x = x^2
portanto P(x) é verdadeira.

Passo 4

Como x foi escolhido de forma arbitrária, concluímos que P(x) vale para todo x\in\mathbb{R}. Logo, a proposição \forall x\bigl((-x)^2 = x^2\bigr) é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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