Determine o valor-verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais.
\forall x(2 x>x)

Passo 1

O enunciado diz para avaliarmos a proposição
\forall x\,(2x > x)
no domínio de todos os números reais. Aqui estamos usando o quantificador universal: a expressão é verdadeira somente se, para todo x\in\mathbb{R}, a condição 2x>x for satisfeita.

Passo 2

Vamos simplificar a condição 2x>x. Subtraindo x dos dois lados, obtemos
2x > x \quad\Longleftrightarrow\quad 2x - x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 0.
Logo a proposição original equivale a
\forall x\in\mathbb{R}\,(x > 0),
ou seja, “todos os reais são positivos”.

Passo 3

Para um quantificador \forall ser verdadeiro, não pode existir nenhum contraexemplo. Basta achar um x\in\mathbb{R} que não seja maior que zero. Por exemplo, tomando x=0, temos
2\cdot 0 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 > 0,
que é falso. Assim já encontramos um contraexemplo e a proposição universal falha.

Resposta

A proposição \forall x\,(2x>x) é falsa.

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