Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de aresta 12,cm.
Conteúdo: geometria espacial – usamos a diagonal do cubo para obter o raio da esfera e a fórmula do volume da esfera.

Passo 2

Para circunscrever a esfera ao cubo, seu centro coincide com o centro do cubo e o raio R é metade da diagonal espacial do cubo. Pela fórmula da diagonal em um cubo de aresta a:
d = araiz3

Passo 3

Substituindo a = 12,cm, a diagonal é
d = 12raiz3,cm,
logo o raio da esfera é
R = d2 = 12raiz32 = 6raiz3,cm

Passo 4

O volume de uma esfera de raio R é dado por
V = 43,pi R^3
Substituindo R = 6raiz3,cm, temos
R^3 = l(6raiz3r)^3 = 6^3,(raiz3)^3 = 216 cdot 3raiz3 = 648raiz3,
logo
V = 43,pi ,l(648raiz3r) = 4cdot 216,raiz3,pi = 864raiz3,pi;cm^3

Resposta

V = 864raiz3,pi;cm^3

Exercícios de Livros Relacionados