[02] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) A função
não possui extremos locais em
.
(b) A função
não possui extremos locais no conjunto
.
(c) A função
não possui extremos globais em
.
(d) A função
não possui extremos globais no conjunto
.
(a) A função
(b) A função
(c) A função
(d) A função
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada sentença sobre
é verdadeira ou falsa, justificando em caso afirmativo e dando contra-exemplo em caso contrário. O conteúdo é: extremos locais e globais de funções de várias variáveis, ponto crítico (gradiente), multiplicadores de Lagrange e comportamento de função não limitada versus restrita a esfera.
Passo 2
Para (a) buscamos pontos críticos em
. Calculamos
Como
em todo ponto, não há ponto cujo gradiente seja nulo, logo não há extremos locais em
. Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Para (b) consideramos
restrita à esfera
, que é um conjunto compacto. Uma função contínua em conjunto compacto sempre tem extremos locais (na verdade globais). Por isso a afirmação de que não possui extremos locais na esfera é falsa. Um contra-exemplo de ponto de máximo local (e global) é
, onde
e em qualquer vizinhança sobre a esfera o valor de
cai, fazendo
diminuir.
Passo 4
Para (c) note que, à medida que
,
, e conforme
,
, pois o termo
domina e os senos e cossenos estão limitados em
. Logo
é não limitada acima nem abaixo em
, não havendo extremos globais. Assim (c) é verdadeira.
Passo 5
Para (d) novamente
restrita à esfera é contínua num conjunto compacto, portanto tem máximo e mínimo globais. Logo a afirmação de que não possui extremos globais na esfera é falsa. Por exemplo,
é ponto de máximo e
é ponto de mínimo, pois aí
.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa