[02] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) A função f(x, y, z)=3 cdot y+cos (x^2+z^2)-sen(x^2-z^2) não possui extremos locais em R^3.
(b) A função f(x, y, z)=3 cdot y+cos (x^2+z^2)-sen(x^2-z^2) não possui extremos locais no conjunto (x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2=1.
(c) A função f(x, y, z)=3 cdot y+cos (x^2+z^2)-sen(x^2-z^2) não possui extremos globais em R^3.
(d) A função f(x, y, z)=3 cdot y+cos (x^2+z^2)-sen(x^2-z^2) não possui extremos globais no conjunto (x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada sentença sobre
f(x,y,z)=3y+cosl(x^2+z^2r)-senl(x^2-z^2r)
é verdadeira ou falsa, justificando em caso afirmativo e dando contra-exemplo em caso contrário. O conteúdo é: extremos locais e globais de funções de várias variáveis, ponto crítico (gradiente), multiplicadores de Lagrange e comportamento de função não limitada versus restrita a esfera.

Passo 2

Para (a) buscamos pontos críticos em R^3. Calculamos
partial fpartial x=-2xl[sen(x^2+z^2)+cos(x^2-z^2)r], partial fpartial y=3, partial fpartial z=2zl[-sen(x^2+z^2)+cos(x^2-z^2)r]
Como partial f/partial y=3neq0 em todo ponto, não há ponto cujo gradiente seja nulo, logo não há extremos locais em R^3. Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b) consideramos restrita à esfera , que é um conjunto compacto. Uma função contínua em conjunto compacto sempre tem extremos locais (na verdade globais). Por isso a afirmação de que não possui extremos locais na esfera é falsa. Um contra-exemplo de ponto de máximo local (e global) é , onde
e em qualquer vizinhança sobre a esfera o valor de cai, fazendo diminuir.

Passo 4

Para (c) note que, à medida que yto+infty, fto+infty, e conforme yto-infty, fto-infty, pois o termo 3y domina e os senos e cossenos estão limitados em [-1,1]. Logo f é não limitada acima nem abaixo em R^3, não havendo extremos globais. Assim (c) é verdadeira.

Passo 5

Para (d) novamente f restrita à esfera é contínua num conjunto compacto, portanto tem máximo e mínimo globais. Logo a afirmação de que não possui extremos globais na esfera é falsa. Por exemplo,
(0,1,0) é ponto de máximo e
(0,-1,0) é ponto de mínimo, pois aí f(0,pm1,0)=pm4.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa

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