Duas faces de um triedro medem respectivamente e . Determine o intervalo de variação da terceira face.
Passo 1
O enunciado dá um triedro (ângulo com três faces) cujas duas faces medem e . Pede-se o intervalo de valores possíveis para a terceira face .
Conteúdo: modelos de triângulo esférico e suas desigualdades (desigualdade triangular e soma das arestas menor que ).
Passo 2
Em um triedro, as três faces , e correspondem aos lados de um triângulo esférico na esfera unitária. As condições de existência desse triângulo são:
e ainda a soma dos três lados deve ser menor que :
Passo 3
Substituindo e nas desigualdades, obtemos:
100^circ + 135^circ + gamma < 360^circ
Passo 4
Calculemos cada expressão:
100^circ + 135^circ = 235^circ,
l|100^circ - 135^circr| = 35^circ,
360^circ - (100^circ + 135^circ) = 125^circ
Passo 5
Das duas primeiras desigualdades vem
35^circ < gamma < 235^circ,
e da soma total
gamma < 125^circ
O limite superior efetivo é 125^circ (menor que 235^circ). Logo,
35^circ < gamma < 125^circ
Resposta
O terceiro ângulo do triedro pode variar em
boxed(35^circ,,125^circ)
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 149