EMBALAGENS Uma lata cilíndrica (com tampa) deve ser construída com certa área de chapa metálica. Use os métodos do cálculo para encontrar uma relação simples entre o raio e a altura da lata para que o volume seja máximo.

Passo 1

Temos uma lata cilíndrica fechada (com tampa) feita de chapa metálica cuja área total, digamos S, é fixa. Queremos usar cálculo para achar a relação entre o raio r e a altura h que faz o volume ser máximo. O conteúdo é otimização com restrição.

Passo 2

Escrevemos a área total S da lata, que é a soma da área das duas bases e da superfície lateral:
S = 2\pi r^2 + 2\pi r\,h.

Passo 3

Isolamos h em função de r a partir de \displaystyle S = 2\pi r^2 + 2\pi r\,h. Subtraindo 2\pi r^2 e dividindo por 2\pi r, obtemos
h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r}.

Passo 4

O volume da lata é V = \pi r^2 h. Substituindo h de cima, definimos
V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{S\,r}{2} - \pi r^3.

Passo 5

Para achar o valor de r que maximiza V, derivamos V(r) e igualamos a zero:
V'(r) = \frac{S}{2} - 3\pi r^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{S}{6\pi}.

Passo 6

Verificamos que é máximo porque
V''(r) = -6\pi r < 0
para r>0, confirmando que o ponto crítico é de máximo.

Passo 7

Para concluir, usamos a expressão de h:
h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} \quad\text{e}\quad r^2 = \frac{S}{6\pi},
o que leva a
h = 2\,r.

Resposta

A relação que maximiza o volume é
h = 2\,r.

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