EMBALAGENS Uma lata cilíndrica (com tampa) deve ser construída com certa área de chapa metálica. Use os métodos do cálculo para encontrar uma relação simples entre o raio e a altura da lata para que o volume seja máximo.
Passo 1
Temos uma lata cilíndrica fechada (com tampa) feita de chapa metálica cuja área total, digamos
, é fixa. Queremos usar cálculo para achar a relação entre o raio
e a altura
que faz o volume ser máximo. O conteúdo é otimização com restrição.
Passo 2
Escrevemos a área total
da lata, que é a soma da área das duas bases e da superfície lateral:
Passo 3
Isolamos
em função de
a partir de
. Subtraindo
e dividindo por
, obtemos
Passo 4
O volume da lata é
. Substituindo
de cima, definimos
Passo 5
Para achar o valor de
que maximiza
, derivamos
e igualamos a zero:
Passo 6
Verificamos que é máximo porque
para
, confirmando que o ponto crítico é de máximo.
Passo 7
Para concluir, usamos a expressão de
:
o que leva a
Resposta
A relação que maximiza o volume é