BIOLOGIA MARINHA Quando um peixe nada rio acima com velocidade v contra uma correnteza constante de velocidade v_{w}, a energia gasta por unidade de distância pode ser modelada por uma função da forma
E(v)=\frac{C v^{k}}{v-v_{w}}
em que C é uma constante positiva e k>2 é um número que depende da espécie de peixe considerada.*
a. Mostre que E(v) possui um e apenas um número crítico. Esse número crítico corresponde a um máximo relativo ou a um mínimo relativo?
b. Observe que o número crítico do item (a) depende de k. Seja F(k) o número crítico. Desenhe a curva de F(k) para k> 1. O que se pode dizer a respeito de F(k) para grandes valores de k ?

Passo 1

O enunciado dá a função de energia gasta por unidade de distância
E(v)=\frac{C\,v^{k}}{v - v_{w}},
com C>0, k>2 e v>v_{w}. Queremos (a) mostrar que existe um e só um ponto crítico e classificá-lo; (b) chamar esse ponto crítico de F(k), desenhar sua curva para k>1 e descrever o comportamento quando k cresce muito.

Passo 2

Vamos derivar E(v). Como C é constante, basta chamar
f(v)=\frac{v^{k}}{v - v_{w}}
e calcular
f'(v) =\frac{(k\,v^{k-1})(v - v_{w}) - v^{k}\cdot1}{(v - v_{w})^{2}} =\frac{v^{k-1}\bigl(k(v - v_{w}) - v\bigr)}{(v - v_{w})^{2}} =\frac{v^{k-1}\bigl((k-1)v - k\,v_{w}\bigr)}{(v - v_{w})^{2}}.
A condição f'(v)=0 é equivalente a
(k-1)\,v - k\,v_{w}=0 \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{k}{k-1}\,v_{w}.
Esse é o único ponto em que o numerador some, e o denominador nunca zera para v>v_{w}. Logo há exatamente um ponto crítico.

Passo 3

Para classificar, note o sinal de
N(v)=(k-1)v - k\,v_{w}.
Se v<\tfrac{k}{k-1}v_{w}, então N(v)<0 e f'(v)<0; se v>\tfrac{k}{k-1}v_{w}, então N(v)>0 e f'(v)>0. Ou seja, f (e portanto E) decresce antes de v=\tfrac{k}{k-1}v_{w} e cresce depois. Isso garante um mínimo relativo nesse ponto.

Passo 4

Chamando
F(k)=\frac{k}{k-1}\,v_{w},
temos uma curva definida para k>1.
– Derivando em relação a k:
F'(k) =\frac{(k-1)\,v_{w} - k\,v_{w}}{(k-1)^{2}} =-\frac{v_{w}}{(k-1)^{2}}<0,
logo F(k) é estritamente decrescente em k>1.
– Limites:
\lim_{k\to1^+}F(k)=+\infty, \qquad \lim_{k\to\infty}F(k)=v_{w}.
Portanto, o gráfico de F é uma hipérbole decrescente que cai de +\infty em k\to1^+ e se aproxima de v_{w} quando k\to\infty.

Resposta

(a) O único ponto crítico é
v_c=\frac{k}{k-1}\,v_{w},
e ele é um mínimo relativo de E(v).
(b)
F(k)=\frac{k}{k-1}\,v_{w},
uma função decrescente para k>1 que tende a +\infty quando k\to1^+ e a v_{w} quando k\to\infty.

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