BIOLOGIA MARINHA Quando um peixe nada rio acima com velocidade
contra uma correnteza constante de velocidade
, a energia gasta por unidade de distância pode ser modelada por uma função da forma
em que
é uma constante positiva e
é um número que depende da espécie de peixe considerada.*
a. Mostre que
possui um e apenas um número crítico. Esse número crítico corresponde a um máximo relativo ou a um mínimo relativo?
b. Observe que o número crítico do item (a) depende de
. Seja
o número crítico. Desenhe a curva de
para
1. O que se pode dizer a respeito de
para grandes valores de
?
a. Mostre que
b. Observe que o número crítico do item (a) depende de
Passo 1
O enunciado dá a função de energia gasta por unidade de distância
com
,
e
. Queremos (a) mostrar que existe um e só um ponto crítico e classificá-lo; (b) chamar esse ponto crítico de
, desenhar sua curva para
e descrever o comportamento quando
cresce muito.
Passo 2
Vamos derivar
. Como
é constante, basta chamar
e calcular
A condição
é equivalente a
Esse é o único ponto em que o numerador some, e o denominador nunca zera para
. Logo há exatamente um ponto crítico.
Passo 3
Para classificar, note o sinal de
Se
, então
e
; se
, então
e
. Ou seja,
(e portanto
) decresce antes de
e cresce depois. Isso garante um mínimo relativo nesse ponto.
Passo 4
Chamando
temos uma curva definida para
.
– Derivando em relação a :
– Derivando em relação a
logo
é estritamente decrescente em
.
– Limites:
– Limites:
Portanto, o gráfico de
é uma hipérbole decrescente que cai de
em
e se aproxima de
quando
.
Resposta
(a) O único ponto crítico é
e ele é um mínimo relativo de
.
(b)
(b)
uma função decrescente para
que tende a
quando
e a
quando
.