1. Encontre os dois pontos sobre a curva y=x-14 x^2, de modo que cada tangente à curva nesses pontos passe pelo ponto (92, 0).

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva
y = x - tfrac14 x^2
de modo que a reta tangente em cada um desses pontos passe por l(tfrac92,0r). Vamos usar derivada para obter o coeficiente angular da tangente e impor a condição de passagem.

Passo 2

Seja f(x)=x-tfrac14x^2. Calculamos a derivada:
f'(x) = 1 - tfrac12 x

Passo 3

A reta tangente em x=a tem equação
y - f(a) = f'(a),(x - a)
Para que essa reta passe por l(tfrac92,0r) deve valer
0 - f(a) ;=; f'(a),l(tfrac92 - ar)
Substituindo f(a)=a-tfrac14a^2 e f'(a)=1-tfrac12a, obtemos
-l(a - tfrac14a^2r) ;=; l(1 - tfrac12ar),l(tfrac92 - ar)

Passo 4

Expandindo e simplificando a condição:
- a + tfrac14a^2 = tfrac92 - tfrac134a + tfrac12a^2 ;Longrightarrow; a^2 - 9a + 18 = 0
Resolvendo a quadrática:
a = 9 pm raiz81 - 722 = 9 pm 32,
logo a=3 ou a=6.

Passo 5

Calculamos y=f(a) em cada caso:
f(3)=3-tfrac14cdot3^2=tfrac34, f(6)=6-tfrac14cdot6^2=-3
Portanto os pontos são l(3,tfrac34r) e l(6,-3r).

Resposta

Os pontos procurados são l(3,tfrac34r) e l(6,-3r).

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