Encontre e esboce o potencial. Obtenha o potencial complexo:
Entre duas placas paralelas em x=-4 e 10 , com potenciais de 4,4 \mathrm{kV} e 10 kV , respectivamente

Passo 1

O problema pede o potencial eletrostático num espaço entre duas placas planas paralelas em x=-4 e x=10, sujeitas aos potenciais \varphi(-4)=4,4\\ \mathrm{kV} e \varphi(10)=10\\ \mathrm{kV}. O conteúdo é resolução da equação de Laplace em uma dimensão (campo uniforme entre placas).

Passo 2

Em uma dimensão, a equação de Laplace vale
\frac{d^2\varphi}{dx^2}=0
e a solução geral é
\varphi(x)=A\,x+B,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Aplicamos as condições de contorno:
\varphi(-4)=A(-4)+B=4,4
\varphi(10)=A(10)+B=10.
Subtraindo a primeira da segunda:
A\,(10-(-4))=10-4,4\quad\Rightarrow\quad 14A=5,6\quad\Rightarrow\quad A=0,4\\ (\mathrm{kV/un}),
e então
-4\cdot0,4+B=4,4\quad\Rightarrow\quad -1,6+B=4,4\quad\Rightarrow\quad B=6\\ (\mathrm{kV}).

Passo 4

Logo o potencial é
\varphi(x)=0,4\,x+6\quad(\mathrm{kV}).
O esboço é uma reta que passa por (-4,4,4) e (10,10), crescendo linearmente com x.

Passo 5

Para o potencial complexo W(z)=\Phi(x,y)+i\,\Psi(x,y) de um campo uniforme usamos
W(z)=A\,z+B=0,4\,z+6.
Daí
\Phi(x,y)=\Re(W)=0,4\,x+6,\qquad \Psi(x,y)=\Im(W)=0,4\,y.

Resposta

\displaystyle \varphi(x)=0,4\,x+6\\ \mathrm{kV} para -4\le x\le10,
\displaystyle W(z)=0,4\,z+6.

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