Encontre graficamente os pontos de intersecção dos gráficos de y=3 x e y=x^{3}-6 x.

Passo 1

O enunciado nos dá os gráficos de y=3x (reta) e de y=x^3-6x (cúbica) e pede os pontos onde eles se cruzam. Para isso, devemos igualar as duas expressões de y e resolver a equação resultante.

Passo 2

Igualando
3x = x^3 - 6x
obtemos uma equação polinomial de terceiro grau.

Passo 3

Rearranjando em forma padrão e fatorando:
3x = x^3 - 6x \quad\Longrightarrow\quad x^3 - 9x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^2 - 9) = 0.
Dessa fatoração, surgem as soluções
x = 0 \quad\text{ou}\quad x^2 - 9 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm 3.

Passo 4

Para cada raiz calculamos y usando y=3x:
  • Se x=0, então y=3\cdot0=0.
  • Se x=3, então y=3\cdot3=9.
  • Se x=-3, então y=3\cdot(-3)=-9.

Resposta

(0,0), (3,9) e (-3,-9).

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