Encontre o número de inteiros positivos não excedentes a 100 que não são divisíveis por 5 ou por 7 .

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros positivos não superiores a 100 que não são divisíveis por 5 nem por 7. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para contar quantos são divisíveis por 5 ou por 7 e depois subtrair esse total de 100.

Passo 2

O total de inteiros positivos de 1 até 100 é
\#U = 100.

Passo 3

Definimos A como o conjunto dos números até 100 divisíveis por 5. O número de múltiplos de 5 em 1,2,…,100 é
\#A = \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20.

Passo 4

Definimos B como o conjunto dos números até 100 divisíveis por 7. O número de múltiplos de 7 em 1,2,…,100 é
\#B = \left\lfloor \frac{100}{7} \right\rfloor = 14.

Passo 5

Para aplicar inclusão-exclusão, precisamos de \#(A\cap B), isto é, dos múltiplos de \mathrm{lcm}(5,7)=35. O número desses múltiplos até 100 é
\#(A\cap B) = \left\lfloor \frac{100}{35} \right\rfloor = 2.

Passo 6

Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de inteiros divisíveis por 5 ou por 7 é
\#(A\cup B) = \#A + \#B - \#(A\cap B) = 20 + 14 - 2 = 32.

Passo 7

Os inteiros que não são divisíveis por 5 nem por 7 correspondem ao total de 100 menos os 32 que são divisíveis por 5 ou por 7:
100 - 32 = 68.

Resposta

68

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