Encontre o número de inteiros positivos não excedentes a 100 que não são divisíveis por 5 ou por 7 .
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de inteiros positivos não superiores a 100 que não são divisíveis por 5 nem por 7. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para contar quantos são divisíveis por 5 ou por 7 e depois subtrair esse total de 100.
Passo 2
O total de inteiros positivos de 1 até 100 é
Passo 3
Definimos
como o conjunto dos números até 100 divisíveis por 5. O número de múltiplos de 5 em 1,2,…,100 é
Passo 4
Definimos
como o conjunto dos números até 100 divisíveis por 7. O número de múltiplos de 7 em 1,2,…,100 é
Passo 5
Para aplicar inclusão-exclusão, precisamos de
, isto é, dos múltiplos de
. O número desses múltiplos até 100 é
Passo 6
Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de inteiros divisíveis por 5 ou por 7 é
Passo 7
Os inteiros que não são divisíveis por 5 nem por 7 correspondem ao total de 100 menos os 32 que são divisíveis por 5 ou por 7: