Encontre uma parametrização da superficie.
Calota esférica A calota cortada da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}= 9 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da calota esférica obtida cortando a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
pelo cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo principal é parametrizar superfícies esféricas usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho é o raio da esfera, \varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta é o ângulo azimutal.

Passo 3

Como estamos sobre a esfera de raio 3, temos \rho=3. A condição do cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
torna-se
3\cos\varphi=3\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
A calota corresponde à parte da esfera para \varphi variando de 0 até \pi/4.

Passo 4

Portanto, uma parametrização da calota esférica é
\mathbf{r}(\varphi,\theta) = \bigl(3\sin\varphi\cos\theta,\;3\sin\varphi\sin\theta,\;3\cos\varphi\bigr),
com
0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Resposta

\boxed{\mathbf{r}(\varphi,\theta) = \bigl(3\sin\varphi\cos\theta,\;3\sin\varphi\sin\theta,\;3\cos\varphi\bigr), \quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\; 0\le\theta\le2\pi.}

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