Encontre uma parametrização da superficie.
Cilindro parabólico entre planos A superficie cortada do cilindro parabólico z=4-y^{2} pelos planos x=0, x=2 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção da superfície dada por
z = 4 - y^{2}
limitada pelos planos x=0, x=2 e pelo plano z=0.
O conteúdo aqui é “parametrização de superfície”, usando dois parâmetros que varrem o domínio projetado no plano xy.

Passo 2

Para saber quais valores y pode assumir, impomos z\ge0:
4 - y^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -2 \le y \le 2.
x varia de 0 a 2. Logo a projeção no plano xy é o retângulo
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 2,\,-2\le y\le 2\}.

Passo 3

Como a superfície é dada por z=4-y^2, basta usar
x=u,\quad y=v,\quad z=4 - v^{2},
com (u,v)\in D.

Resposta

\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\;v,\;4 - v^{2}\bigr), \quad 0 \le u \le 2,\; -2 \le v \le 2.

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