Encontre uma parametrização da superficie.
Faixa esférica A porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 entre os planos z=\sqrt{3} / 2 e z=-\sqrt{3} / 2.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da faixa esférica que é a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3
com z variando entre \sqrt{3}/2 e -\sqrt{3}/2.
Conteúdo: usamos coordenadas esféricas, nas quais para a esfera de raio \sqrt{3} temos
x=\sqrt{3}\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\sqrt{3}\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\sqrt{3}\,\cos\varphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas fixamos o raio r=\sqrt{3}. As variáveis livres são \theta (longitude) e \varphi (colatitude):
\theta\in[0,2\pi),\quad \varphi\in[0,\pi].

Passo 3

Para achar os limites de \varphi, impomos as condições sobre z:
z=\sqrt{3}\cos\varphi
deve variar entre \sqrt{3}/2 e -\sqrt{3}/2.
Isto é,
\sqrt{3}\cos\varphi = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\pm\frac12
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\varphi=\pi/3 na face superior e \varphi=2\pi/3 na face inferior.

Passo 4

Portanto a parametrização da faixa esférica é
\mathbf{r}(\theta,\varphi) = \bigl(x(\theta,\varphi),\,y(\theta,\varphi),\,z(\theta,\varphi)\bigr)
com
x(\theta,\varphi)=\sqrt{3}\,\sin\varphi\cos\theta, \quad y(\theta,\varphi)=\sqrt{3}\,\sin\varphi\sin\theta, \quad z(\theta,\varphi)=\sqrt{3}\,\cos\varphi,
e domínio
0\le\theta<2\pi, \quad \frac{\pi}{3}\le\varphi\le\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\boxed{ \mathbf{r}(\theta,\varphi) =\bigl(\sqrt{3}\,\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{3}\,\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{3}\,\cos\varphi\bigr), \quad 0\le\theta<2\pi,\; \frac{\pi}{3}\le\varphi\le\frac{2\pi}{3} }

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