Encontre uma parametrização da superficie.
Faixa cilíndrica circular A porção do cilindro y^{2}+z^{2}=9 entre os planos x=0 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da porção do cilindro definido por \,y^{2}+z^{2}=9 entre os planos x=0 e x=3.
Conteúdo: parametrização de superfícies usando coordenadas cilíndricas. Precisamos usar um parâmetro para o eixo x (que varia de 0 a 3) e outro para o ângulo que descreve o círculo de raio 3 na seção yz.

Passo 2

Num cilindro de equação \,y^{2}+z^{2}=9, o raio é constante e igual a 3. Logo, podemos introduzir o parâmetro angular \theta para descrever o círculo
y=3\cos\theta,\quad z=3\sin\theta,
com \,0\le\theta<2\pi. Para a coordenada ao longo do eixo x, basta usar outro parâmetro u variando entre 0 e 3, ou seja,
x=u,\quad 0\le u\le3.

Passo 3

Juntando os dois parâmetros, a parametrização \mathbf r(u,\theta) da superfície é
\mathbf r(u,\theta)=\bigl(u,\;3\cos\theta,\;3\sin\theta\bigr),
com domínio
0\le u\le3,\quad 0\le\theta<2\pi.

Resposta

\mathbf r(u,\theta)=\bigl(u,\;3\cos\theta,\;3\sin\theta\bigr), \quad 0\le u\le3,\;\;0\le\theta<2\pi.

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