Encontre uma parametrização da superficie.
Plano inclinado dentro de um cilindro A porção do plano x-y+2 z=2
Dentro do cilindro x^{2}+z^{2}=3

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção do plano
x - y + 2z = 2
que fica dentro do cilindro
x^{2} + z^{2} = 3.
O conteúdo é parametrização de superfície: vamos usar duas variáveis para cobrir a região projetada no plano xz, resolver y em função de x,z e então montar o vetor posição.

Passo 2

Da equação do plano
x - y + 2z = 2
isolamos y. Temos
-y = 2 - x - 2z \quad\Longrightarrow\quad y = x + 2z - 2.

Passo 3

Como o cilindro é dado por x^{2}+z^{2}=3, a projeção da superfície no plano xz é o disco
D = \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le3\}.
Podemos usar (u,v) como parâmetros correspondendo a (x,z).

Passo 4

Definimos a parametrização
\mathbf r(u,v) = \bigl(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\bigr) = \bigl(u,\;u + 2v - 2,\;v\bigr),
com (u,v)\in D, isto é,
u^{2}+v^{2}\le3.

Resposta

\mathbf r(u,v)=\bigl(u,\;u+2v-2,\;v\bigr), \quad (u,v)\in\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le3\}.

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