Encontre uma parametrização da superficie.
Plano inclinado dentro de um cilindro A porção do plano x-y+2 z=2
Dentro do cilindro y^{2}+z^{2}=2

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da superfície S definida pela porção do plano
x - y + 2z = 2
contida no cilindro
y^2 + z^2 = 2.
Como o plano pode ser escrito como x = 2 + y - 2z, vamos parametrizar S usando as coordenadas (y,z).

Passo 2

Descrevemos a região projetada no plano yz em coordenadas polares:
y = r\cos\theta, \quad z = r\sin\theta,
com
0 \le r \le \sqrt{2}, \quad 0 \le \theta < 2\pi.

Passo 3

Pela equação do plano temos
x = 2 + y - 2z.
Substituindo y = r\cos\theta e z = r\sin\theta, obtemos a parametrização
\vec r(r,\theta) = \bigl(x(r,\theta),\,y(r,\theta),\,z(r,\theta)\bigr) = \bigl(2 + r\cos\theta - 2r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr).

Resposta

Uma parametrização da superfície é
\vec r(r,\theta) = \bigl(2 + r\cos\theta - 2r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr), \quad 0 \le r \le \sqrt{2},\; 0 \le \theta < 2\pi.

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