Encontre \partial w / \partial u e \partial w / \partial v quando u=v=0 se w=\ln \sqrt{1+x^{2}} - \operatorname{tg}^{-1} x e x=2 e^{x} \cos v.

Passo 1

O enunciado define
w = \ln\sqrt{1+x^{2}} \;-\;\operatorname{tg}^{-1}x
com x dependendo de (u,v) segundo
x = 2e^{u}\cos v,
e pede \partial w/\partial u e \partial w/\partial v no ponto u=v=0.
O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais:
\frac{\partial w}{\partial u} =\frac{dw}{dx}\,\frac{\partial x}{\partial u}, \quad \frac{\partial w}{\partial v} =\frac{dw}{dx}\,\frac{\partial x}{\partial v}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos w de forma mais manejável:
w = \frac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\;-\;\arctan x.
Derivando em relação a x,
\frac{dw}{dx} =\frac12\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} -\frac{1}{1+x^{2}} =\frac{x}{1+x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}} =\frac{x-1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Agora derivamos x=2e^{u}\cos v parcialmente:
\frac{\partial x}{\partial u} =2e^{u}\cos v, \qquad \frac{\partial x}{\partial v} =-2e^{u}\sin v.
No ponto u=0, v=0 temos
x(0,0)=2e^{0}\cos0=2, \quad \frac{\partial x}{\partial u}(0,0)=2, \quad \frac{\partial x}{\partial v}(0,0)=0.

Passo 4

Avaliando \tfrac{dw}{dx} em x=2:
\left.\frac{dw}{dx}\right|_{x=2} =\frac{2-1}{1+2^{2}} =\frac{1}{5}.
Logo, pelo rule da cadeia,
\frac{\partial w}{\partial u}(0,0) =\frac{1}{5}\cdot 2 =\frac{2}{5}, \quad \frac{\partial w}{\partial v}(0,0) =\frac{1}{5}\cdot 0 =0.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial u}(0,0)=\frac{2}{5}, \quad \frac{\partial w}{\partial v}(0,0)=0.

Exercícios de Livros Relacionados