20.12 Encontre as seis funções trigonométricas de 5 pi / 4.
Como 5 pi4=pi4+pi e P(pi4)=(1raiz2, 1raiz2), segue-se que P(5 pi4)=(-1raiz2,-1raiz2). Portanto, as seis funções trigonométricas de 5 pi / 4 são:
ll sen ( 5 pi4 )=y=-1raiz2 & csc ( 5 pi4 )=1y=1-1 / raiz2=-raiz2 cos ( 5 pi4 )=x=-1raiz2 & sec ( 5 pi4 )=1x=1-1 / raiz2=-raiz2 tg ( 5 pi4 )=yx=-1 / raiz2-1 / raiz2=1 & cotg ( 5 pi4 )=xy=-1 / raiz2-1 / raiz2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as seis funções trigonométricas de tfrac5pi4. Vamos usar a interpretação geométrica na circunferência trigonométrica e as definições
sintheta = y, costheta = x, tantheta = yx, csctheta = 1y, sectheta = 1x, cottheta = xy

Passo 2

Identificamos que tfrac5pi4 = pi + tfracpi4, ou seja, é um ângulo no terceiro quadrante com referência em tfracpi4. No terceiro quadrante, tanto x quanto y são negativos.

Passo 3

O ponto correspondente a tfracpi4 na circunferência é
Pl(tfracpi4r)=l(tfrac1raiz2,;tfrac1raiz2r)
Ao somar pi, obtemos o ponto simétrico no terceiro quadrante:
Pl(tfrac5pi4r)=l(-tfrac1raiz2,;-tfrac1raiz2r)

Passo 4

Da coordenada extraímos
sinl(tfrac5pi4r)=y=-tfrac1raiz2, cosl(tfrac5pi4r)=x=-tfrac1raiz2

Passo 5

Calculamos as funções tangente e cotangente:
tanl(tfrac5pi4r)=yx =-tfrac1raiz2-tfrac1raiz2=1, cotl(tfrac5pi4r)=xy =-tfrac1raiz2-tfrac1raiz2=1

Passo 6

Finalmente, as funções recíprocas secante e cossecante:
secl(tfrac5pi4r)=1cosl(tfrac5pi4r) =1-tfrac1raiz2=-raiz2, cscl(tfrac5pi4r)=1sinl(tfrac5pi4r) =1-tfrac1raiz2=-raiz2

Resposta

sinl(tfrac5pi4r)=-tfrac1raiz2, cscl(tfrac5pi4r)=-raiz2,
cosl(tfrac5pi4r)=-tfrac1raiz2, secl(tfrac5pi4r)=-raiz2,
tanl(tfrac5pi4r)=1, cotl(tfrac5pi4r)=1

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