Encontre todos os valores e represente graficamente alguns deles no plano complexo.
ln (-6)

Passo 1

O enunciado pede todos os valores do logaritmo de -6 no plano complexo e que alguns sejam representados graficamente. O conteúdo envolve o conceito de logaritmo complexo, em que \ln z=\ln|z|+i\Arg(z) e a parte imaginária é ambígua por múltiplos de 2\pi.

Passo 2

Escrevemos -6 em forma polar. O módulo é
|{-6}|=6,
e o argumento principal de -6 é
\Arg(-6)=\pi\quad(\text{mod }2\pi).

Passo 3

Aplicando a definição de logaritmo complexo, temos
\ln(-6)=\ln|{-6}|+i\bigl(\Arg(-6)+2\pi k\bigr).

Passo 4

Substituindo |{-6}|=6 e \Arg(-6)=\pi, obtemos a expressão geral
\ln(-6)=\ln6+i\bigl(\pi+2\pi k\bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Para ilustrar, escolhemos k=0,1,-1. Isso gera os pontos
\ln 6 + i \pi (para k=0),
\ln 6 + i 3 \pi (para k=1)
e
\ln 6 - i \pi (para k=-1),
todos alinhados na reta vertical \Re(z) = \ln 6. Um esboço no plano complexo:
\text{Im} | 3\pi \quad \bullet \text{B}(\ln 6, 3\pi) | \pi \quad \bullet \text{A}(\ln 6, \pi) \quad + \quad ------------------ \text{Re} -\pi \quad \bullet \text{C}(\ln 6, -\pi)

Resposta

\ln(-6)=\ln6 + i\bigl(\pi + 2\pi k\bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.

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