Encontre o vértice, o foco, a diretriz e a largura focal da parábola.
(y-2)^{2}=4(x+3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vértice, o foco, a diretriz e a largura focal da parábola dada por
(y-2)^{2}=4(x+3).
Isso envolve usar a forma padrão de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x:
(y-k)^{2}=4p\,(x-h),
onde (h,k) é o vértice, p é a distância do vértice ao foco (e também ao vértice até a diretriz), a parábola abre para a direita se p>0, e a largura focal é \lvert4p\rvert.

Passo 2

Colocamos a equação na forma
(y-k)^{2}=4p\,(x-h).
Comparando com (y-2)^{2}=4(x+3), vemos que
k=2,
e que
4p=4 \quad\Longrightarrow\quad p=1,
e também que
x-h = x - (-3) \quad\Longrightarrow\quad h=-3.

Passo 3

O vértice é o ponto (h,k). Logo,
\text{vértice} = (-3,\,2).é

Passo 4

O foco fica a uma distância p à direita do vértice (pois p>0) sobre a linha y=k. Portanto,
\text{foco} = (h+p,\,k) = (-3+1,\,2) = (-2,\,2).

Passo 5

A diretriz é a reta vertical à esquerda do vértice a uma distância p, dada por
x = h - p = -3 - 1 = -4.

Passo 6

A largura focal (ou comprimento do foco-rético) é \lvert4p\rvert. Aqui p=1, então
\text{largura focal} = \lvert4\cdot1\rvert = 4.

Resposta

vértice: (-3,2)
foco: (-2,2)
diretriz: x=-4
largura focal: 4

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