Enuncie de memória o teste da razão, o teste da raiz e a fórmula de Cauchy-Hadamar para o raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede para lembrarmos três resultados clássicos sobre séries de potências
– conteúdo: testes de convergência que fornecem o raio de convergência R de
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,(z-z_0)^n.
Vamos enunciar (i) o teste da razão, (ii) o teste da raiz e (iii) a fórmula de Cauchy–Hadamard.

Passo 2

Teste da razão
Se existir o limite
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então a série converge para \lvert z-z_0\rvert<1/L e diverge para \lvert z-z_0\rvert>1/L.
Logo, o raio de convergência é
R \;=\;\frac{1}{L}.
Convenções: se L=0, então R=+\infty; e se L=+\infty, então R=0.

Passo 3

Teste da raiz
Defina
L' \;=\;\limsup_{n\to\infty}\root n\of{\lvert a_n\rvert}.
Então a série converge para \lvert z-z_0\rvert<1/L' e diverge para \lvert z-z_0\rvert>1/L'.
Dessa forma, o raio de convergência vale
R \;=\;\frac{1}{L'}.
Convenções: se L'=0, então R=+\infty; se L'=+\infty, então R=0.

Passo 4

Fórmula de Cauchy–Hadamard
Em geral, sem pressupor existência de limite, o raio de convergência de
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,(z-z_0)^n é dado por
R \;=\;\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\root n\of{\lvert a_n\rvert}}.

Resposta

(i) Teste da razão: L=\lim_{n\to\infty}\lvert a_{n+1}/a_n\rvert, R=1/L.
(ii) Teste da raiz: L'=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}, R=1/L'.
(iii) Cauchy–Hadamard: R=1/\bigl(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}\bigr).

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