A equação de demanda de um produto é p=100-2 x e o custo é C=500+3 x.
a) Obtenha o preço que maximiza o lucro.
b) Se o governo cobrar um imposto igual a $ 2,00 por unidade vendida, qual o novo preço que maximiza o lucro?

Passo 1

O enunciado nos dá a função demanda p=100-2x e o custo C=500+3x. Para maximizar o lucro, definimos a função lucro
pi(x)=p(x),x - C(x)
e usaremos cálculo para encontrar o ponto em que pi'(x)=0.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a função lucro sem imposto, temos
pi(x) = (100-2x)x - (500+3x) = 100x - 2x^2 - 500 - 3x = -2x^2 + 97x - 500

Passo 3

Derivando em relação a x e igualando a zero, obtemos
pi'(x) = -4x + 97 = 0 Longrightarrow x^* = 974

Passo 4

Substituindo x^* na equação de demanda, o preço ótimo é
p^* = 100 - 2x^* = 100 - 2cdot974 = 100 - 972 = 51,5

Passo 5

Com imposto de 2 por unidade, o custo passa a ser
Ct(x) = 500 + 3x + 2x = 500 + 5x
e o lucro se torna
pit(x) = (100-2x)x - (500+5x) = -2x^2 + 95x - 500

Passo 6

Derivando essa nova função de lucro e igualando a zero, temos
pi't(x) = -4x + 95 = 0 Longrightarrow xt^* = 954

Passo 7

O preço que maximiza o lucro após o imposto é
pt^* = 100 - 2xt^* = 100 - 2cdot954 = 100 - 952 = 52,5

Resposta

a) p=51,5
b) p=52,5

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