6.1.23 A equação de movimento de uma massa m em relação a um sistema de coordenadas em rotação é
m \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}=\mathbf{F}-m \boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})-2 m\left(\boldsymbol{\omega} \times \frac{d \mathbf{r}}{d t}\right)-m\left(\frac{d \boldsymbol{\omega}}{d t} \times \mathbf{r}\right) .
Considere o caso \mathbf{F}=0, \mathbf{r}=\hat{\mathbf{x}} x+\hat{\mathbf{y}} y, e \boldsymbol{\omega}=\omega \hat{\mathbf{z}}, com \omega constante. Mostre que a substituição de \mathbf{r}=\hat{\mathbf{x}} x+\hat{\mathbf{y}} y by z=x+i y leva a
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+i 2 \omega \frac{d z}{d t}-\omega^{2} z=0
Nota: Essa equação diferencial ordinária pode ser resolvida pela substituição de z=f e^{-i \omega t}.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento em sistema giratório
m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} =\mathbf{F} -m\,\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) -2m\bigl(\boldsymbol{\omega}\times\tfrac{d\mathbf{r}}{dt}\bigr) -m\bigl(\tfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\mathbf{r}\bigr),
com \mathbf{F}=0, \mathbf{r}=x\,\hat{\mathbf{x}}+y\,\hat{\mathbf{y}}, \boldsymbol{\omega}=\omega\,\hat{\mathbf{z}} e \omega constante (logo \tfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=0). Queremos mostrar que, definindo
z = x + i\,y,
obtemos
\frac{d^2 z}{dt^2} + i\,2\omega\,\frac{dz}{dt} - \omega^2\,z = 0.

Passo 2

Calculemos o termo centrífugo -m\,\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}). Primeiro
\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r} =(0,0,\omega)\times(x,y,0) =(-\omega\,y,\;\omega\,x,\;0),
de onde
\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) =(0,0,\omega)\times(-\omega y,\omega x,0) =(-\omega^2 x,\,-\omega^2 y,\,0).
Então
-m\,\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) = m(\omega^2 x,\;\omega^2 y,\;0).

Passo 3

Agora o termo de Coriolis -2m(\boldsymbol{\omega}\times\tfrac{d\mathbf{r}}{dt}). Chamando \dot x=\tfrac{dx}{dt}, \dot y=\tfrac{dy}{dt},
\boldsymbol{\omega}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt} =(0,0,\omega)\times(\dot x,\dot y,0) =(-\omega\,\dot y,\;\omega\,\dot x,\;0),
logo
-2m\bigl(\boldsymbol{\omega}\times\tfrac{d\mathbf{r}}{dt}\bigr) =(2m\,\omega\,\dot y,\;-2m\,\omega\,\dot x,\;0).

Passo 4

Substituindo na equação de movimento e cancelando m, as componentes x,y satisfazem
\begin{cases} \ddot x = \omega^2 x + 2\omega\,\dot y,\\\ \ddot y = \omega^2 y - 2\omega\,\dot x. \end{cases}

Passo 5

Defina z = x + i\,y. Então
\frac{d^2 z}{dt^2} =\ddot x + i\,\ddot y, \qquad \frac{dz}{dt}=\dot x + i\,\dot y.
Observe que
i\,2\omega\,\frac{dz}{dt} =2i\omega\,\dot x -2\omega\,\dot y.
Somando
\frac{d^2 z}{dt^2} + i\,2\omega\,\frac{dz}{dt} - \omega^2\,z =(\ddot x-2\omega\,\dot y-\omega^2 x) +i(\ddot y+2\omega\,\dot x-\omega^2 y),
e cada parêntese é zero pelas equações escalares do passo anterior. Portanto chega-se a
\frac{d^2 z}{dt^2} + i\,2\omega\,\frac{dz}{dt} - \omega^2\,z =0.

Resposta

\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+i\,2\omega\,\frac{d z}{d t}-\omega^{2}\,z=0.

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