6.1.23 A equação de movimento de uma massa m em relação a um sistema de coordenadas em rotação é
m d^2 rd t^2=F-m omega times(omega times r)-2 m(omega times d rd t)-m(d omegad t times r)
Considere o caso F=0, r=x x+y y, e omega=omega z, com omega constante. Mostre que a substituição de r=x x+y y by z=x+i y leva a
d^2 zd t^2+i 2 omega d zd t-omega^2 z=0
Nota: Essa equação diferencial ordinária pode ser resolvida pela substituição de z=f e^-i omega t.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento em sistema giratório
md^2rdt^2 =F -m,omegatimes(omegatimesr) -2ml(omegatimestfracdrdtr) -ml(tfracdomegadttimesrr),
com F=0, r=x,x+y,y, omega=omega,z e omega constante (logo tfracdomegadt=0). Queremos mostrar que, definindo
z = x + i,y,
obtemos
d^2 zdt^2 + i,2omega,dzdt - omega^2,z = 0

Passo 2

Calculemos o termo centrífugo -m,omegatimes(omegatimesr). Primeiro
omegatimesr =(0,0,omega)times(x,y,0) =(-omega,y,;omega,x,;0),
de onde
omegatimes(omegatimesr) =(0,0,omega)times(-omega y,omega x,0) =(-omega^2 x,,-omega^2 y,,0)
Então
-m,omegatimes(omegatimesr) = m(omega^2 x,;omega^2 y,;0)

Passo 3

Agora o termo de Coriolis -2m(omegatimestfracdrdt). Chamando dot x=tfracdxdt, dot y=tfracdydt,
omegatimesdrdt =(0,0,omega)times(dot x,dot y,0) =(-omega,dot y,;omega,dot x,;0),
logo
-2ml(omegatimestfracdrdtr) =(2m,omega,dot y,;-2m,omega,dot x,;0)

Passo 4

Substituindo na equação de movimento e cancelando m, as componentes x,y satisfazem
ddot x = omega^2 x + 2omega,dot y, ddot y = omega^2 y - 2omega,dot x

Passo 5

Defina z = x + i,y. Então
d^2 zdt^2 =ddot x + i,ddot y, dzdt=dot x + i,dot y
Observe que
i,2omega,dzdt =2iomega,dot x -2omega,dot y
Somando
d^2 zdt^2 + i,2omega,dzdt - omega^2,z =(ddot x-2omega,dot y-omega^2 x) +i(ddot y+2omega,dot x-omega^2 y),
e cada parêntese é zero pelas equações escalares do passo anterior. Portanto chega-se a
d^2 zdt^2 + i,2omega,dzdt - omega^2,z =0

Resposta

d^2 zd t^2+i,2omega,d zd t-omega^2,z=0

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