Admita que as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas são definidas para argumento complexo pela série de potências adequada.
6.1.9
(a) Mostre que
(b) Verifique que relações funcionais familiares, tais como
ainda serão válidas no plano complexo.
6.1.9
Passo 1
O enunciado estende as definições de
,
,
,
para qualquer
através das séries de potências, e pede em (a) que mostremos como as funções trigonométricas se relacionam com as hiperbólicas quando aparecemos um fator imaginário no argumento; em (b) que verifiquemos que fórmulas familiares como
continuam válidas no plano complexo. Vamos usar manipulação de séries de potências e propriedades do exponencial complexo.
Passo 2
Relembremos as séries de definição:
Passo 3
Para obter
, substituímos
na definição de
:
De modo análogo, substituindo
em
obtemos
Isolando as funções de
chegam-se imediatamente às outras duas relações:
Passo 4
Para lidar com as fórmulas do item (b) lembramos que o exponencial em
é
Separando termos pares e ímpares em
e
obtém-se as fórmulas de Euler
Passo 5
Usando a definição de
e
temos
E, usando as fórmulas de Euler para derivar a soma de argumentos,
substituindo
e agrupando parte real e imaginária, chega-se a
Resposta
(a)
(b)