Admita que as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas são definidas para argumento complexo pela série de potências adequada.
6.1.9
& sen z=sumn=1, ímpar ^infty(-1)^(n-1) / 2 z^nn !=sums=0^infty(-1)^s z^2 s+1(2 s+1) !, & cos z=sumn=0, par ^infty(-1)^n / 2 z^nn !=sums=0^infty(-1)^s z^2 s(2 s) !, & sen h z=sumn=1, ímpar ^infty z^nn !=sums=0^infty z^2 s+1(2 s+1) !, & cosh z=sumn=0, par ^infty z^nn !=sums=0^infty z^2 s(2 s) ! íí
(a) Mostre que
ll i sen z=senh i z, & sen i z=i senh z cos z=cosh i z, & cos i z=cosh z
(b) Verifique que relações funcionais familiares, tais como
cosh z=e^z+e^-z2 sen(z1+z2)=sen z1 cos z2+sen z2 cos z1
ainda serão válidas no plano complexo.

Passo 1

O enunciado estende as definições de senz, cos z, senhz, cosh z para qualquer zinC através das séries de potências, e pede em (a) que mostremos como as funções trigonométricas se relacionam com as hiperbólicas quando aparecemos um fator imaginário no argumento; em (b) que verifiquemos que fórmulas familiares como
cosh z=e^z+e^-z2, sen(z1+z2) =senz1,cos z2+senz2,cos z1
continuam válidas no plano complexo. Vamos usar manipulação de séries de potências e propriedades do exponencial complexo.

Passo 2

Relembremos as séries de definição:
sen z =sums=0^infty(-1)^sz^2s+1(2s+1)!, cos z =sums=0^infty(-1)^sz^2s(2s)!,
senh z =sums=0^inftyz^2s+1(2s+1)!, cosh z =sums=0^inftyz^2s(2s)!

Passo 3

Para obter i,senz=senh(i z), substituímos zmapsto i z na definição de senh:
senh(i z) =sums=0^infty(i z)^2s+1(2s+1)! =sums=0^inftyi^2s+1z^2s+1(2s+1)! =sums=0^infty(-1)^s,i,z^2s+1(2s+1)! =isums=0^infty(-1)^sz^2s+1(2s+1)! =i,senz
De modo análogo, substituindo zmapsto i z em cosh z obtemos
cosh(i z) =sums=0^infty(i z)^2s(2s)! =sums=0^infty(-1)^sz^2s(2s)! =cos z
Isolando as funções de i z chegam-se imediatamente às outras duas relações:
sen(i z)=i,senhz, cos(i z)=cosh z

Passo 4

Para lidar com as fórmulas do item (b) lembramos que o exponencial em C é
e^z=sumn=0^inftyz^nn!, e^-z=sumn=0^infty(-z)^nn!
Separando termos pares e ímpares em e^iz e e^-iz obtém-se as fórmulas de Euler
e^iz=cos z+i,senz, e^-iz=cos z - i,senz

Passo 5

Usando a definição de e^z e e^-z temos
e^z+e^-z =2sums=0^inftyz^2s(2s)! =2,cosh z Longrightarrow cosh z=e^z+e^-z2
E, usando as fórmulas de Euler para derivar a soma de argumentos,
sen(z1+z2) =e^i(z1+z2)-e^-i(z1+z2)2i =e^iz1e^iz2-e^-iz1e^-iz22i,
substituindo e^pm i zk=cos zkpm i,senzk e agrupando parte real e imaginária, chega-se a
sen(z1+z2) =senz1,cos z2+senz2,cos z1

Resposta

(a)
i,senz=senh(i z), sen(i z)=i,senhz, cos z=cosh(i z), cos(i z)=cosh z
(b)
cosh z=e^z+e^-z2, sen(z1+z2) =senz1,cos z2+senz2,cos z1

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