Admita que as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas são definidas para argumento complexo pela série de potências adequada.
6.1.9
\begin{aligned} & \operatorname{sen} z=\sum_{n=1, \text { ímpar }}^{\infty}(-1)^{(n-1) / 2} \frac{z^{n}}{n !}=\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s} \frac{z^{2 s+1}}{(2 s+1) !}, \\\ & \cos z=\sum_{n=0, \text { par }}^{\infty}(-1)^{n / 2} \frac{z^{n}}{n !}=\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s} \frac{z^{2 s}}{(2 s) !}, \\\ & \operatorname{sen} h z=\sum_{n=1, \text { ímpar }}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !}=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{z^{2 s+1}}{(2 s+1) !}, \\\ & \operatorname{cosh} z=\sum_{n=0, \text { par }}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !}=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{z^{2 s}}{(2 s) !} . \end{aligned}íí
(a) Mostre que
\begin{array}{ll} i \operatorname{sen} z=\operatorname{senh} i z, & \operatorname{sen} i z=i \operatorname{senh} z \\\ \cos z=\operatorname{cosh} i z, & \cos i z=\operatorname{cosh} z\\\ \end{array}
(b) Verifique que relações funcionais familiares, tais como
\begin{gathered} \operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} \\\ \operatorname{sen}\left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{sen} z_{1} \cos z_{2}+\operatorname{sen} z_{2} \cos z_{1} \end{gathered}
ainda serão válidas no plano complexo.

Passo 1

O enunciado estende as definições de \operatorname{sen}z, \cos z, \operatorname{senh}z, \operatorname{cosh} z para qualquer z\in\mathbb{C} através das séries de potências, e pede em (a) que mostremos como as funções trigonométricas se relacionam com as hiperbólicas quando aparecemos um fator imaginário no argumento; em (b) que verifiquemos que fórmulas familiares como
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}, \qquad \operatorname{sen}(z_{1}+z_{2}) =\operatorname{sen}z_{1}\,\cos z_{2}+\operatorname{sen}z_{2}\,\cos z_{1}
continuam válidas no plano complexo. Vamos usar manipulação de séries de potências e propriedades do exponencial complexo.

Passo 2

Relembremos as séries de definição:
\operatorname{sen} z =\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{z^{2s+1}}{(2s+1)!}, \quad \cos z =\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{z^{2s}}{(2s)!},
\operatorname{senh} z =\sum_{s=0}^{\infty}\frac{z^{2s+1}}{(2s+1)!}, \quad \operatorname{cosh} z =\sum_{s=0}^{\infty}\frac{z^{2s}}{(2s)!}.

Passo 3

Para obter i\,\operatorname{sen}z=\operatorname{senh}(i z), substituímos z\mapsto i z na definição de \operatorname{senh}:
\operatorname{senh}(i z) =\sum_{s=0}^{\infty}\frac{(i z)^{2s+1}}{(2s+1)!} =\sum_{s=0}^{\infty}i^{2s+1}\frac{z^{2s+1}}{(2s+1)!} =\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\,i\,\frac{z^{2s+1}}{(2s+1)!} =i\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{z^{2s+1}}{(2s+1)!} =i\,\operatorname{sen}z.
De modo análogo, substituindo z\mapsto i z em \operatorname{cosh} z obtemos
\operatorname{cosh}(i z) =\sum_{s=0}^{\infty}\frac{(i z)^{2s}}{(2s)!} =\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{z^{2s}}{(2s)!} =\cos z.
Isolando as funções de i z chegam-se imediatamente às outras duas relações:
\operatorname{sen}(i z)=i\,\operatorname{senh}z, \qquad \cos(i z)=\operatorname{cosh} z.

Passo 4

Para lidar com as fórmulas do item (b) lembramos que o exponencial em \mathbb{C} é
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}, \qquad e^{-z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-z)^{n}}{n!}.
Separando termos pares e ímpares em e^{iz} e e^{-iz} obtém-se as fórmulas de Euler
e^{iz}=\cos z+i\,\operatorname{sen}z, \qquad e^{-iz}=\cos z - i\,\operatorname{sen}z.

Passo 5

Usando a definição de e^{z} e e^{-z} temos
e^{z}+e^{-z} =2\sum_{s=0}^{\infty}\frac{z^{2s}}{(2s)!} =2\,\operatorname{cosh} z \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}.
E, usando as fórmulas de Euler para derivar a soma de argumentos,
\operatorname{sen}(z_{1}+z_{2}) =\frac{e^{i(z_{1}+z_{2})}-e^{-i(z_{1}+z_{2})}}{2i} =\frac{e^{iz_{1}}e^{iz_{2}}-e^{-iz_{1}}e^{-iz_{2}}}{2i},
substituindo e^{\pm i z_{k}}=\cos z_{k}\pm i\,\operatorname{sen}z_{k} e agrupando parte real e imaginária, chega-se a
\operatorname{sen}(z_{1}+z_{2}) =\operatorname{sen}z_{1}\,\cos z_{2}+\operatorname{sen}z_{2}\,\cos z_{1}.

Resposta

(a)
i\,\operatorname{sen}z=\operatorname{senh}(i z), \quad \operatorname{sen}(i z)=i\,\operatorname{senh}z, \quad \cos z=\operatorname{cosh}(i z), \quad \cos(i z)=\operatorname{cosh} z.
(b)
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}, \qquad \operatorname{sen}(z_{1}+z_{2}) =\operatorname{sen}z_{1}\,\cos z_{2}+\operatorname{sen}z_{2}\,\cos z_{1}.

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