Erro na estimativa de um produto Sejam y=u v e z= u+v, onde u e v sảo variáveis independentes positivas.
(a) Se u for medido com um erro de 2 \% e v com um erro de 3 \%, qual é o erro percentual aproximado no cálculo do valor de y ?
(b) Mostre que o erro percentual no cálculo de z é menor que o erro percentual no valor de y.

Passo 1

O enunciado define as grandezas
y = u\,v \qquad\text{e}\qquad z = u + v
com u,v>0 independentes. Em (a) queremos o erro percentual aproximado de y quando \delta u/u=2\% e \delta v/v=3\%. Em (b) mostrar que o erro percentual de z é menor que o de y. Usaremos propagação de erros por diferenciais (aproximação linear).

Passo 2

Para o produto y=u\,v, a propagação de erros por diferenciais dá
\frac{\delta y}{y}\approx \frac{\delta u}{u} \;+\;\frac{\delta v}{v}.

Passo 3

Substituindo \delta u/u = 2\% e \delta v/v = 3\%, vem
\frac{\delta y}{y}\approx 2\% + 3\% = 5\%.

Passo 4

Para a soma z = u + v, a variação absoluta aproximada é
\delta z = \delta u + \delta v,
logo a variação relativa fica
\frac{\delta z}{z} = \frac{|\delta u| + |\delta v|}{u + v} = \frac{u\bigl(\tfrac{|\delta u|}{u}\bigr) + v\bigl(\tfrac{|\delta v|}{v}\bigr)}{u+v}.

Passo 5

O numerador é uma média ponderada de \tfrac{|\delta u|}{u} e \tfrac{|\delta v|}{v} com pesos u/(u+v) e v/(u+v), cada um \le1. Assim
\frac{\delta z}{z} \;\le\;\frac{|\delta u|}{u} + \frac{|\delta v|}{v} \;\approx\;\frac{\delta u}{u} + \frac{\delta v}{v} \;=\;\frac{\delta y}{y}.

Resposta

(a) 5\%.
(b) Como mostramos \delta z/z\le\delta y/y, o erro percentual em z é menor que em y.

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