Esboce algumas das curvas de nível associadas com a função indicada.
f(x, y)=y^2-x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar algumas curvas de nível da função
f(x,y)=y^2-x
Em termos de teoria, uma curva de nível para um valor ,cinR, é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c
Aqui vamos usar esse conceito para obter a equação implícita de cada curva e descrever seu formato.

Passo 2

Partindo de
f(x,y)=c Longrightarrow y^2-x=c,
isolamos x:
x = y^2 - c
Isso mostra que, para cada constante c, a curva de nível é dada pela equação ,x = y^2 - c.

Passo 3

Reconhecemos que ,x = y^2 - c é a equação de uma parábola com concavidade para a direita. O vértice dessa parábola é o ponto
l(-c,,0r),
e seu eixo de simetria é a reta vertical y=0. Ao variar c, apenas mudamos a posição horizontal do vértice.

Passo 4

Vamos escolher alguns valores típicos de c para ver o efeito do deslocamento:
c = -2:
x = y^2 - (-2) = y^2 + 2,vértice em (-(-2),0)=(2,0) é
c = -1:
x = y^2 + 1,vértice em (1,0) é
c = 0:
x = y^2,vértice em (0,0) é
c = 1:
x = y^2 - 1,vértice em (-1,0) é
c = 2:
x = y^2 - 2,vértice em (-2,0) é

Passo 5

Para esboçar, trace no plano cartesiano várias parábolas de concavidade para a direita, posicionadas horizontalmente segundo o valor de c. Quanto maior c, mais para a esquerda fica o vértice; quanto menor c, mais para a direita.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=y^2-x são as parábolas
x = y^2 - c
para c=-2,-1,0,1,2, com vértices em (2,0),(1,0),(0,0),(-1,0),(-2,0), respectivamente, todas com concavidade voltada para a direita.

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