Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
x=3 y+y^2, x+y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas
x = 3y + y^2
e
x + y + 3 = 0
e calcular a área da região fechada por elas. Para isso, vamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção resolvendo as duas equações.
  2. Verificar, para cada y entre esses pontos, qual curva dá a abscissa maior.
  3. Montar a integral em y do afastamento horizontal entre as duas curvas.

Passo 2

Igualamos as expressões de x:
3y + y^2 = -y - 3
que leva a
y^2 + 4y + 3 = 0 Longrightarrow (y+1)(y+3)=0
Logo os valores de interseção são y=-1 e y=-3. Substituindo em x=-y-3 (ou na parábola) obtemos os pontos
(-2,-1) e (0,-3).

Passo 3

Entre y=-3 e y=-1, testando por exemplo y=-2, a reta
xreta=-y-3
é x=-(-2)-3=-1, e a parábola
xpar=3y+y^2=3(-2)+4=-2
Logo a reta está à direita e a parábola à esquerda.

Passo 4

A área da região é
Área=integraly=-3^-1l(xreta-xparr),dy =integral-3^-1l[(-y-3);-;(y^2+3y)r]dy =integral-3^-1(-y^2-4y-3),dy Á

Passo 5

Calculando a integral:
integral(-y^2-4y-3),dy =-y^33-2y^2-3y,
avaliando de -3 a -1:
l(-tfrac(-1)^33-2(-1)^2-3(-1)r) -l(-tfrac(-3)^33-2(-3)^2-3(-3)r) =l(tfrac43r)-0 =43

Resposta

43

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