Esboce o gráfico da função.
f(x)=9^{x / 2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=9^{x/2}.
O conteúdo aqui é gráfico de função exponencial. Para resolver, vamos usar a propriedade de potências para reescrever a base e depois identificar domínio, imagem, assíntota, monotonicidade e pontos de referência.

Passo 2

Reescrevendo a função usando 9=(3^2):
f(x) = \bigl(3^2\bigr)^{x/2} = 3^{2\cdot(x/2)} = 3^x.

Passo 3

Características gerais de f(x)=3^x:
  • Domínio: \mathbb{R} (todos os x reais).
  • Imagem: (0,\infty) (sempre positiva).
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Monotonicidade: crescente, pois a base 3>1.

Passo 4

Vamos anotar alguns pontos-chaves:
f(0)=3^0=1,\quad f(1)=3^1=3,\quad f(2)=3^2=9,
f(-1)=3^{-1}=\tfrac13,\quad f(-2)=3^{-2}=\tfrac19.

Passo 5

Comportamento da curva:
  • Para x\to+\infty, f(x)\to+\infty.
  • Para x\to-\infty, f(x)\to0^+.
  • A curva nunca toca y=0, ficando sempre acima dela.

Passo 6

Esboço do gráfico de f(x)=3^x:
  • Traçar a assíntota y=0 como uma linha tracejada.
  • Marcar o ponto (0,1) no eixo y.
  • Passar pelos pontos (1,3), (2,9) e aproximar-se de zero à esquerda passando por (-1,\tfrac13), (-2,\tfrac19).
  • Ligar esses pontos com uma curva suave, crescente e convexa.

Resposta

O gráfico de f(x)=9^{x/2} é o mesmo de y=3^x: uma curva exponencial crescente, com assíntota horizontal em y=0, passando por (0,1), (1,3), (2,9) e aproximando-se de zero quando x\to -\infty.

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