Esboce os gráficos dos seguintes polinômios, dando atenção especial à localização de seus zeros e a seu comportamento para valores grandes de
:
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função polinomial
com atenção especial à localização de seus zeros e ao comportamento para
. O conteúdo aqui é estudo de polinômios de grau
: fatoração para achar zeros, multiplicidades e análise do termo dominante para o comportamento nas “pontas” do gráfico.
Passo 2
Fatoramos o polinômio para encontrar seus zeros:
Logo os zeros são
,
e
, todos de multiplicidade
.
Passo 3
Como cada zero tem multiplicidade ímpar, o gráfico atravessa o eixo
em cada um deles. Para saber em quais intervalos
é positivo ou negativo, podemos montar o sinal de
nos intervalos
,
,
e
. Isso confirma que o gráfico:
- Está em
para . - Sobe para
em , cruza em e desce em . - Depois cruza em
e vai para em .
Passo 4
O termo dominante é
(coeficiente positivo), então o comportamento nas pontas é
Passo 5
Opcionalmente, para afinar o esboço, calculemos os pontos críticos pela derivada
com raízes
Avaliar
nesses pontos dá um máximo local em
e um mínimo local em
.
Com essas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico:
- Passa pelos pontos
, , , - Tem máximo perto de
e mínimo perto de , - Vai para
à esquerda e para à direita,
formando o clássico “S” de um cúbico com coeficiente líder positivo.
Resposta
Esboço qualitativo:
Zeros em
,
,
, todos cruzamentos do eixo
.
Local máximo em
, local mínimo em
.
Como
,
; como
,
.