Esboce os gráficos dos seguintes polinômios, dando atenção especial à localização de seus zeros e a seu comportamento para valores grandes de x :
y=x^3-3 x^2+2 x;

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função polinomial
y = x^3 - 3x^2 + 2x
com atenção especial à localização de seus zeros e ao comportamento para xtopminfty. O conteúdo aqui é estudo de polinômios de grau 3: fatoração para achar zeros, multiplicidades e análise do termo dominante para o comportamento nas “pontas” do gráfico.

Passo 2

Fatoramos o polinômio para encontrar seus zeros:
y = x^3 - 3x^2 + 2x = x,(x^2 -3x +2) = x,(x-1),(x-2)
Logo os zeros são x=0, x=1 e x=2, todos de multiplicidade 1.

Passo 3

Como cada zero tem multiplicidade ímpar, o gráfico atravessa o eixo x em cada um deles. Para saber em quais intervalos y é positivo ou negativo, podemos montar o sinal de
x,(x-1),(x-2)
nos intervalos (-infty,0), (0,1), (1,2) e (2,infty). Isso confirma que o gráfico:
  • Está em y<0 para x<0.
  • Sobe para y>0 em (0,1), cruza em x=1 e desce em (1,2).
  • Depois cruza em x=2 e vai para y>0 em x>2.

Passo 4

O termo dominante é x^3 (coeficiente positivo), então o comportamento nas pontas é
quando xto -infty,;yto -infty, quando xto +infty,;yto +infty

Passo 5

Opcionalmente, para afinar o esboço, calculemos os pontos críticos pela derivada
y' = 3x^2 -6x +2,
com raízes
x = 6 pm raiz36 -246 = 1 pm raiz33 approx 0,422,;1,578
Avaliar y nesses pontos dá um máximo local em l(0,422,;0,385r) e um mínimo local em l(1,578,;-0,385r).
Com essas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico:
  • Passa pelos pontos (0,0), (1,0), (2,0),
  • Tem máximo perto de (0,42,0,39) e mínimo perto de (1,58,-0,39),
  • Vai para -infty à esquerda e para +infty à direita,
formando o clássico “S” de um cúbico com coeficiente líder positivo.

Resposta

Esboço qualitativo:
bul<=t Zeros em (0,0), (1,0), (2,0), todos cruzamentos do eixo x.
bul<=t Local máximo em l(0,422,;0,385r), local mínimo em l(1,578,;-0,385r).
bul<=t Como xto -infty, yto -infty; como xto +infty, yto +infty.

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