(UF-PR) Quando escrevemos 4307, por exemplo, no sistema de numeração decimal, estamos nos referindo ao número . Seguindo essa mesma ideia, podemos representar qualquer número inteiro positivo utilizando apenas os dígitos 0 e 1, bastando escrever o número como soma de potências de 2. Por exemplo, e por isso a notação é usada para
representar 13 nesse outro sistema. Note que os algarismos que ali aparecem são os coeficientes das potências de 2 na mesma ordem em que estão na expressão. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:
I.
II.
III. Qualquer que seja o número inteiro positivo , a expressão de em potências de 2 tem apenas um dígito diferente de 0 .
IV. Se , então 2 cdot a=[underbrace1111 ldots 11021 dígitos ]2í.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta a representação de números inteiros em base 2, onde cada dígito é coeficiente de uma potência de 2. Precisamos verificar a veracidade das afirmativas I, II, III e IV, e então escolher a alternativa correta.
Passo 2
Verificamos a afirmativa I: [111]2=1cdot2^2+1cdot2^1+1cdot2^0=4+2+1=7.
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Verificamos a afirmativa II: [110]2=1cdot2^2+1cdot2^1+0cdot2^0=6, [101]2=1cdot2^2+0cdot2^1+1cdot2^0=5,
então [110]2+[101]2=6+5=11.
Porém [1010]2=1cdot2^3+0cdot2^2+1cdot2^1+0cdot2^0=8+0+2+0=10,
de modo que 6+5neq10.
Assim, II é falsa.
Passo 4
Verificamos a afirmativa III:
Para inteiro positivo,
tem exatamente um dígito 1 e o resto zeros.
Portanto, III é verdadeira.
Passo 5
Verificamos a afirmativa IV:
Se í,
então
Em base 2,
Logo, IV é verdadeira.
Passo 6
As afirmativas verdadeiras são I, III e IV. A alternativa correspondente é a letra d.
Resposta
d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
Cálculo - Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos Murakami - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 2: Logaritmos - 10ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibulares - Ex. 22