(UF-PR) Quando escrevemos 4307, por exemplo, no sistema de numeração decimal, estamos nos referindo ao número 4 cdot 10^3+3 cdot 10^2+0 cdot 10^1+7 cdot 10^0. Seguindo essa mesma ideia, podemos representar qualquer número inteiro positivo utilizando apenas os dígitos 0 e 1, bastando escrever o número como soma de potências de 2. Por exemplo, 13=1 cdot 2^3+1 cdot 2^2+0 cdot 2^1+1 cdot 2^0 e por isso a notação [1101]2 é usada para
representar 13 nesse outro sistema. Note que os algarismos que ali aparecem são os coeficientes das potências de 2 na mesma ordem em que estão na expressão. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:
I. [111]2=7
II. [110]2+[101]2=[1010]2
III. Qualquer que seja o número inteiro positivo k, a expressão de 2^k em potências de 2 tem apenas um dígito diferente de 0 .
IV. Se a=[underbrace1111 ldots 1120 dígitos ]2í, então 2 cdot a=[underbrace1111 ldots 11021 dígitos ]2í.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta a representação de números inteiros em base 2, onde cada dígito é coeficiente de uma potência de 2. Precisamos verificar a veracidade das afirmativas I, II, III e IV, e então escolher a alternativa correta.

Passo 2

Verificamos a afirmativa I:
[111]2=1cdot2^2+1cdot2^1+1cdot2^0=4+2+1=7.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Verificamos a afirmativa II:
[110]2=1cdot2^2+1cdot2^1+0cdot2^0=6,
[101]2=1cdot2^2+0cdot2^1+1cdot2^0=5,
então
[110]2+[101]2=6+5=11.
Porém [1010]2=1cdot2^3+0cdot2^2+1cdot2^1+0cdot2^0=8+0+2+0=10,
de modo que 6+5neq10.
Assim, II é falsa.

Passo 4

Verificamos a afirmativa III:
Para inteiro positivo,
tem exatamente um dígito 1 e o resto zeros.
Portanto, III é verdadeira.

Passo 5

Verificamos a afirmativa IV:
Se
í,
então
Em base 2,
Logo, IV é verdadeira.

Passo 6

As afirmativas verdadeiras são I, III e IV. A alternativa correspondente é a letra d.

Resposta

d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.

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