1.1.9 Uma esfera de raio a tem centro em um ponto \mathbf{r}_{1}.
(a) Escreva a equação algébrica para a esfera.
(b) Escreva uma equação vetorial para a esfera.
Resposta:
(a) \left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}=a^{2}.
(b) \mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}+\mathbf{a}, com \mathbf{r}_{1}= centro.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera de raio a com centro em um ponto de vetor posição \mathbf{r}_{1}. O que precisamos usar é a definição de esfera como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao centro é a. Em coordenadas, isso envolve a distância euclidiana em \mathbb{R}^{3}; em forma vetorial, envolve o módulo de \mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}.

Passo 2

Seja (x,y,z) um ponto genérico da esfera e (x_{1},y_{1},z_{1}) o centro. A distância entre eles é
\sqrt{(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} + (z - z_{1})^{2}}
e essa deve ser igual a a. Elevando ao quadrado, obtemos a equação algébrica
(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} + (z - z_{1})^{2} = a^{2}.

Passo 3

Em notação vetorial, seja \mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} o vetor posição de um ponto genérico e \mathbf{r}_{1}=x_{1}\,\mathbf{i}+y_{1}\,\mathbf{j}+z_{1}\,\mathbf{k} o vetor posição do centro. O vetor que vai do centro ao ponto é \mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}, e o módulo desse vetor deve ser a:
\|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\| = a.
Uma forma equivalente, sem raiz, é
(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1})\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}) = a^{2}.

Resposta

(a) (x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} + (z - z_{1})^{2} = a^{2}.
(b) \|\mathbf{r} - \mathbf{r}_{1}\| = a (ou equivalentemente (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1})\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}) = a^{2}).

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