1.1.9 Uma esfera de raio
tem centro em um ponto
.
(a) Escreva a equação algébrica para a esfera.
(b) Escreva uma equação vetorial para a esfera.
Resposta:
(a)
.
(b)
, com
centro.
(a) Escreva a equação algébrica para a esfera.
(b) Escreva uma equação vetorial para a esfera.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma esfera de raio
com centro em um ponto de vetor posição
. O que precisamos usar é a definição de esfera como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao centro é
. Em coordenadas, isso envolve a distância euclidiana em
; em forma vetorial, envolve o módulo de
.
Passo 2
Seja
um ponto genérico da esfera e
o centro. A distância entre eles é
e essa deve ser igual a
. Elevando ao quadrado, obtemos a equação algébrica
Passo 3
Em notação vetorial, seja
o vetor posição de um ponto genérico e
o vetor posição do centro. O vetor que vai do centro ao ponto é
, e o módulo desse vetor deve ser
:
Uma forma equivalente, sem raiz, é
Resposta
(a)
(b) (ou equivalentemente
).
(b)