1.1.9 Uma esfera de raio a tem centro em um ponto r1.
(a) Escreva a equação algébrica para a esfera.
(b) Escreva uma equação vetorial para a esfera.
Resposta:
(a) (x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2=a^2.
(b) r=r1+a, com r1= centro.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera de raio a com centro em um ponto de vetor posição r1. O que precisamos usar é a definição de esfera como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao centro é a. Em coordenadas, isso envolve a distância euclidiana em R^3; em forma vetorial, envolve o módulo de r-r1.

Passo 2

Seja (x,y,z) um ponto genérico da esfera e (x1,y1,z1) o centro. A distância entre eles é
raiz(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2
e essa deve ser igual a a. Elevando ao quadrado, obtemos a equação algébrica
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2 = a^2

Passo 3

Em notação vetorial, seja r=x,i+y,j+z,k o vetor posição de um ponto genérico e r1=x1,i+y1,j+z1,k o vetor posição do centro. O vetor que vai do centro ao ponto é r-r1, e o módulo desse vetor deve ser a:
|r-r1| = a
Uma forma equivalente, sem raiz, é
(r-r1)cdot(r-r1) = a^2

Resposta

(a) (x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2 = a^2
(b) |r - r1| = a (ou equivalentemente (r-r1)cdot(r-r1) = a^2).

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