1.1.12 Ache os vetores diagonais de um cubo unitário com um vértice na origem e seus três lados ao longo dos eixos cartesianos. Mostre que há quatro diagonais de comprimento
. Representando essas diagonais como vetores, quais são suas componentes? Mostre que o comprimento das diagonais das faces do cubo é
e determine suas componentes.
Passo 1
O enunciado pede os vetores que representam as diagonais internas (corpo) e as diagonais das faces de um cubo de aresta unitária com um vértice em
e arestas ao longo dos eixos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas de vértices em
, a definição de vetor diferença entre dois pontos e a fórmula do comprimento (norma) de um vetor
Passo 2
As diagonais de corpo ligam pares de vértices opostos do cubo. Os vértices do cubo são todos os pontos cujas coordenadas são
ou
. Os quatro pares opostos são:
,
,
,
.
Subtraindo coordenadas, obtemos os vetores
Subtraindo coordenadas, obtemos os vetores
Cada um tem norma
mostrando que são quatro diagonais de comprimento
.
Passo 3
Cada face do cubo é um quadrado de aresta
, num dos planos
,
ou
, em
ou
, etc. As diagonais de cada face ligam vértices cujas coordenadas diferem de
em duas posições e são iguais em uma. Assim, todos os vetores de diagonal de face são permutações de dois sinais
e um zero:
Aplicando a norma, por exemplo para
,
e o mesmo vale para as outras, mostrando que cada face diagonal tem comprimento
.
Resposta
Diagonais de corpo (
):
.
Diagonais de face (
):