1.1.12 Ache os vetores diagonais de um cubo unitário com um vértice na origem e seus três lados ao longo dos eixos cartesianos. Mostre que há quatro diagonais de comprimento \sqrt{3}. Representando essas diagonais como vetores, quais são suas componentes? Mostre que o comprimento das diagonais das faces do cubo é \sqrt{2} e determine suas componentes.

Passo 1

O enunciado pede os vetores que representam as diagonais internas (corpo) e as diagonais das faces de um cubo de aresta unitária com um vértice em (0,0,0) e arestas ao longo dos eixos x, y e z. Para resolver isso, vamos usar coordenadas de vértices em \mathbb{R}^3, a definição de vetor diferença entre dois pontos e a fórmula do comprimento (norma) de um vetor
\|\,(v_x,v_y,v_z)\,\| \;=\;\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\,.

Passo 2

As diagonais de corpo ligam pares de vértices opostos do cubo. Os vértices do cubo são todos os pontos cujas coordenadas são 0 ou 1. Os quatro pares opostos são:
(0,0,0)\leftrightarrow(1,1,1),
(1,0,0)\leftrightarrow(0,1,1),
(0,1,0)\leftrightarrow(1,0,1),
(0,0,1)\leftrightarrow(1,1,0).
Subtraindo coordenadas, obtemos os vetores
\mathbf{d}_1=(1,1,1),\quad \mathbf{d}_2=(-1,1,1),\quad \mathbf{d}_3=(1,-1,1),\quad \mathbf{d}_4=(1,1,-1).
Cada um tem norma
\|\mathbf{d}_i\| =\sqrt{1^2+1^2+1^2} =\sqrt{3},
mostrando que são quatro diagonais de comprimento \sqrt{3}.

Passo 3

Cada face do cubo é um quadrado de aresta 1, num dos planos xy, xz ou yz, em z=0 ou z=1, etc. As diagonais de cada face ligam vértices cujas coordenadas diferem de 1 em duas posições e são iguais em uma. Assim, todos os vetores de diagonal de face são permutações de dois sinais \pm1 e um zero:
(\pm1,\pm1,0),\quad (\pm1,0,\pm1),\quad (0,\pm1,\pm1).
Aplicando a norma, por exemplo para (1,1,0),
\|(1,1,0)\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2},
e o mesmo vale para as outras, mostrando que cada face diagonal tem comprimento \sqrt{2}.

Resposta

Diagonais de corpo ( \|\cdot\|=\sqrt{3}):
\,(1,1,1),\;(-1,1,1),\;(1,-1,1),\;(1,1,-1).
Diagonais de face ( \|\cdot\|=\sqrt{2}):
(1,1,0),\;(1,-1,0),\;(-1,1,0),\;(-1,-1,0),
(1,0,1),\;(1,0,-1),\;(-1,0,1),\;(-1,0,-1),
(0,1,1),\;(0,1,-1),\;(0,-1,1),\;(0,-1,-1).

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