1.1.12 Ache os vetores diagonais de um cubo unitário com um vértice na origem e seus três lados ao longo dos eixos cartesianos. Mostre que há quatro diagonais de comprimento raiz3. Representando essas diagonais como vetores, quais são suas componentes? Mostre que o comprimento das diagonais das faces do cubo é raiz2 e determine suas componentes.

Passo 1

O enunciado pede os vetores que representam as diagonais internas (corpo) e as diagonais das faces de um cubo de aresta unitária com um vértice em (0,0,0) e arestas ao longo dos eixos x, y e z. Para resolver isso, vamos usar coordenadas de vértices em R^3, a definição de vetor diferença entre dois pontos e a fórmula do comprimento (norma) de um vetor
|,(vx,vy,vz),| ;=;raizvx^2+vy^2+vz^2,

Passo 2

As diagonais de corpo ligam pares de vértices opostos do cubo. Os vértices do cubo são todos os pontos cujas coordenadas são 0 ou 1. Os quatro pares opostos são:
(0,0,0)rightarrow(1,1,1),
(1,0,0)rightarrow(0,1,1),
(0,1,0)rightarrow(1,0,1),
(0,0,1)rightarrow(1,1,0).
Subtraindo coordenadas, obtemos os vetores
d1=(1,1,1), d2=(-1,1,1), d3=(1,-1,1), d4=(1,1,-1)
Cada um tem norma
|di| =raiz1^2+1^2+1^2 =raiz3,
mostrando que são quatro diagonais de comprimento raiz3.

Passo 3

Cada face do cubo é um quadrado de aresta 1, num dos planos xy, xz ou yz, em z=0 ou z=1, etc. As diagonais de cada face ligam vértices cujas coordenadas diferem de 1 em duas posições e são iguais em uma. Assim, todos os vetores de diagonal de face são permutações de dois sinais pm1 e um zero:
(pm1,pm1,0), (pm1,0,pm1), (0,pm1,pm1)
Aplicando a norma, por exemplo para (1,1,0),
|(1,1,0)|=raiz1^2+1^2+0^2=raiz2,
e o mesmo vale para as outras, mostrando que cada face diagonal tem comprimento raiz2.

Resposta

Diagonais de corpo ( |cdot|=raiz3):
,(1,1,1),;(-1,1,1),;(1,-1,1),;(1,1,-1).
Diagonais de face ( |cdot|=raiz2):
(1,1,0),;(1,-1,0),;(-1,1,0),;(-1,-1,0),
(1,0,1),;(1,0,-1),;(-1,0,1),;(-1,0,-1),
(0,1,1),;(0,1,-1),;(0,-1,1),;(0,-1,-1)

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