Estabeleça as identidades:
sen p-sen q=2 cos p+q2 sen p-q2.

Passo 1

O objetivo é provar a identidade trigonométrica
sin p - sin q = 2 cos!l(tfracp+q2r),sin!l(tfracp-q2r)
Para isso vamos usar a fórmula de adição e subtração de seno:
sin(Apm B)=sin Acos Bpmcos Asin B

Passo 2

Defina dois novos ângulos
alpha = p+q2, beta = p-q2
Então note que
p = alpha + beta, q = alpha - beta

Passo 3

Aplicando a fórmula de adição e subtração de seno:
sin p = sin(alpha+beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta,
sin q = sin(alpha-beta) = sinalphacosbeta - cosalphasinbeta

Passo 4

Agora subtraímos as duas expressões:
sin p - sin q = (sinalphacosbeta + cosalphasinbeta) -(sinalphacosbeta - cosalphasinbeta) = 2,cosalpha,sinbeta

Passo 5

Basta voltar às definições de alpha e beta:
2,cosalpha,sinbeta =2cos!l(tfracp+q2r),sin!l(tfracp-q2r),
que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

sin p - sin q = 2 cos!l(tfracp+q2r),sin!l(tfracp-q2r)

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