Exemplo 5. Achar f^{\prime}(0) para a função
y=\sqrt[3]{x}
Solução. Temos:
f^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x^{2}}}=\infty .

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} em x=0 usando a definição de derivada por limite de quociente incremental. Para isso precisamos aplicar
f'(0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}
e verificar se esse limite existe finito, é infinito ou não existe.

Passo 2

Como f(0)=\sqrt[3]{0}=0, a expressão do quociente incremental fica
\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\frac{\sqrt[3]{\Delta x}-0}{\Delta x} =\frac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x}.

Passo 3

Para simplificar usamos a propriedade de potências: \sqrt[3]{\Delta x}=(\Delta x)^{1/3}. Logo
\frac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x} =\frac{(\Delta x)^{1/3}}{(\Delta x)^{1}} =(\Delta x)^{1/3-1} =(\Delta x)^{-2/3} =\frac{1}{(\Delta x)^{2/3}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de (\Delta x)^{-2/3} quando \Delta x\to0. Como (\Delta x)^{2/3}\to0^{+}, temos
\frac{1}{(\Delta x)^{2/3}}\to+\infty.
Isso vale independente do sinal de \Delta x, pois (\Delta x)^{2/3} é sempre positivo para \Delta x\neq0.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x}=+\infty,
ou seja, o limite diverge para mais infinito. Quando a derivada segundo a definição por limite é infinita, dizemos que a derivada não existe no sentido finito e que a curva tem uma tangente vertical em x=0.

Resposta

A derivada f'(0) não existe como número finito (o limite é +\infty). A curva y=\sqrt[3]{x} apresenta tangente vertical em x=0.

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