Exemplo 5. Achar
para a função
Solução. Temos:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
em
usando a definição de derivada por limite de quociente incremental. Para isso precisamos aplicar
e verificar se esse limite existe finito, é infinito ou não existe.
Passo 2
Como
, a expressão do quociente incremental fica
Passo 3
Para simplificar usamos a propriedade de potências:
. Logo
Passo 4
Agora analisamos o comportamento de
quando
. Como
, temos
Isso vale independente do sinal de
, pois
é sempre positivo para
.
Passo 5
Concluímos que
ou seja, o limite diverge para mais infinito. Quando a derivada segundo a definição por limite é infinita, dizemos que a derivada não existe no sentido finito e que a curva tem uma tangente vertical em
.
Resposta
A derivada
não existe como número finito (o limite é
). A curva
apresenta tangente vertical em
.