22 Dê um exemplo de um sistema de três equações lineares com duas variáveis que tenha exatamente uma solução.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de um sistema de três equações lineares com duas variáveis que tenha exatamente uma solução. O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente a discussão sobre sistemas sobredeterminados, consistência e posto da matriz de coeficientes.
Passo 2
Para que um sistema de duas variáveis tenha solução única, o posto (rank) da matriz de coeficientes deve ser 2. Assim, basta escolher duas equações independentes e tomar a terceira como combinação linear delas, garantindo que o sistema continue consistente e com posto 2.
Passo 3
Escolhemos duas equações independentes, por exemplo:
x + y = 1,
2x + 3y = 3.
Elas têm posto 2 e, portanto, solução única.
Passo 4
Vamos resolver essas duas primeiras:
Da primeira equação vem \;x = 1 - y. Substituindo na segunda,
2(1 - y) + 3y = 3
2 - 2y + 3y = 3
y = 1,\quad x = 1 - 1 = 0.
Para a terceira equação, somamos as duas primeiras de modo que o resultado seja satisfeito por (0,1):
(x + y) + (2x + 3y) = 1 + 3
3x + 4y = 4.
Como esta é combinação linear das duas primeiras, o posto não muda e o sistema continua consistente com solução única.
Resposta
\begin{cases} x + y = 1,\\\\ 2x + 3y = 3,\\\\ 3x + 4y = 4, \end{cases}
com solução única (x,y) = (0,1).
Cálculo - Sheldon Axler - Pré-Cálculo - Uma Preparação para o Cálculo - Vol1 - 2ª Edição - Capítulo 8.8.2 Problemas - Ex. 22