82 Dê um exemplo de três números irracionais
e
tais que
seja um número racional.
Passo 1
O problema pede três números irracionais
tais que
seja racional. Vamos usar propriedades de potências e logaritmos para construir um caso em que o expoente composto produza um número racional.
Passo 2
Escolhemos
Justificativa de irracionalidade:
– é irracional.
– Pelo teorema de Gelfond–Schneider, como é algébrica não nula diferente de 1 e
é algébrica irracional, então
–
– Pelo teorema de Gelfond–Schneider, como
é transcendental (logo irracional).
–
–
é irracional, pois
e
são números transcendentais e a razão não simplifica para número racional.
Passo 3
Calculamos primeiro
:
que é racional.
Passo 4
Agora elevamos esse resultado a
:
pois, por definição de logaritmo,
.
Resposta
pois
, um número racional, e
são todos irracionais.