82 Dê um exemplo de três números irracionais x, y e z tais que \left(x^{y}\right)^{z} seja um número racional.

Passo 1

O problema pede três números irracionais x,y,z tais que
\bigl(x^{y}\bigr)^{z}
seja racional. Vamos usar propriedades de potências e logaritmos para construir um caso em que o expoente composto produza um número racional.

Passo 2

Escolhemos
x = 2^{\sqrt{2}},\quad y = \sqrt{2},\quad z = \log_{4}3.
Justificativa de irracionalidade:
\sqrt{2} é irracional.
– Pelo teorema de Gelfond–Schneider, como 2 é algébrica não nula diferente de 1 e \sqrt2 é algébrica irracional, então
x = 2^{\sqrt2}
é transcendental (logo irracional).
z = \log_{4}3 = \frac{\ln 3}{\ln 4}
é irracional, pois \ln3 e \ln4 são números transcendentais e a razão não simplifica para número racional.

Passo 3

Calculamos primeiro x^{y}:
x^{y} = \bigl(2^{\sqrt2}\bigr)^{\sqrt2} = 2^{\sqrt2\cdot\sqrt2} = 2^{2} = 4,
que é racional.

Passo 4

Agora elevamos esse resultado a z:
\bigl(x^{y}\bigr)^{z} = 4^{\log_{4}3} = 3,
pois, por definição de logaritmo, a^{\log_{a}b}=b.

Resposta

x = 2^{\sqrt{2}},\quad y = \sqrt{2},\quad z = \log_{4}3,
pois \bigl(x^{y}\bigr)^{z}=3, um número racional, e x,y,z são todos irracionais.

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