Nos exercícios 37-40, encontre as direções nas quais
cresce e decresce mais rapidamente em
e encontre a derivada de
em cada direção. Encontre também a derivada de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede para uma função de três variáveis
no ponto
:
- determinar as direções de crescimento e decrescimento mais rápidos,
- calcular a derivada direcional nessas direções,
- calcular a derivada direcional na direção do vetor
.
Conteúdo: gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
. Como
temos
Passo 3
Avaliando em
, o argumento fica
logo
O módulo desse vetor é
Passo 4
A direção de crescimento mais rápido é a do vetor gradiente normalizado:
e a derivada direcional nessa direção é
A direção de decrescimento mais rápido é a oposta
com derivada direcional
Passo 5
Para a direção do vetor
, primeiro normalizamos:
A derivada direcional é
Resposta
Direção de crescimento mais rápido:
, derivada
.
Direção de decrescimento mais rápido: , derivada
.
Derivada direcional na direção de :
.
Direção de decrescimento mais rápido:
Derivada direcional na direção de