Nos exercícios 37-40, encontre as direções nas quais f cresce e decresce mais rapidamente em P_{0} e encontre a derivada de f em cada direção. Encontre também a derivada de f em P_{0} na direção do vetor v.
f(x, y, z)=\ln (2 x+3 y+6 z), \quad P_{0}(-1,-1,1)\, \mathbf{v}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}+6 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para uma função de três variáveis
f(x,y,z)=\ln\bigl(2x+3y+6z\bigr)
no ponto P_{0}(-1,-1,1):
  • determinar as direções de crescimento e decrescimento mais rápidos,
  • calcular a derivada direcional nessas direções,
  • calcular a derivada direcional na direção do vetor \mathbf{v}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+6\mathbf{k}.
    Conteúdo: gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Como
f(x,y,z)=\ln(u)\quad\text{com }u=2x+3y+6z,
temos
\nabla f =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) =\frac{1}{u}\,(2,3,6).

Passo 3

Avaliando em P_{0}(-1,-1,1), o argumento fica
u|_{P_{0}}=2(-1)+3(-1)+6(1)=-2-3+6=1,
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\nabla f(P_{0})=\frac{1}{1}(2,3,6)=(2,3,6).
O módulo desse vetor é
\|\nabla f(P_{0})\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7.

Passo 4

A direção de crescimento mais rápido é a do vetor gradiente normalizado:
\mathbf{u}_{\max} =\frac{\nabla f(P_{0})}{\|\nabla f(P_{0})\|} =\Bigl(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\Bigr),
e a derivada direcional nessa direção é
D_{\mathbf{u}_{\max}}f(P_{0}) =\|\nabla f(P_{0})\|=7.
A direção de decrescimento mais rápido é a oposta
\mathbf{u}_{\min} =-\mathbf{u}_{\max} =\Bigl(-\tfrac{2}{7},-\tfrac{3}{7},-\tfrac{6}{7}\Bigr),
com derivada direcional
D_{\mathbf{u}_{\min}}f(P_{0})=-7.

Passo 5

Para a direção do vetor \mathbf{v}=(2,3,6), primeiro normalizamos:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=7, \quad \mathbf{u}_{v}=\frac{\mathbf{v}}{7}=\Bigl(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\Bigr).
A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}_{v}}f(P_{0}) =\nabla f(P_{0})\cdot\mathbf{u}_{v} =(2,3,6)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\Bigr) =\frac{4+9+36}{7} =\frac{49}{7}=7.

Resposta

Direção de crescimento mais rápido: \bigl(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\bigr), derivada 7.
Direção de decrescimento mais rápido: \bigl(-\tfrac{2}{7},-\tfrac{3}{7},-\tfrac{6}{7}\bigr), derivada -7.
Derivada direcional na direção de \mathbf{v}: 7.

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