Nos exercícios 55 e 56, encontre a linearização
da função
no ponto
. Então encontre um limitante superior para a magnitude do erro
na aproximação
sobre o retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede a linearização de
no ponto
e um limitante superior para o erro
sobre o retângulo
O conteúdo é aproximação linear (diferencial) e controle do resto via derivadas segundas (fórmula de Taylor com resto).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e as avaliamos em
:
Em
temos
Passo 3
A linearização é
Simplificando,
Passo 4
Para controlar o erro usamos as derivadas segundas:
Como são constantes, sobre
valem em módulo
Passo 5
Pela fórmula do resto de Taylor em duas variáveis,
No retângulo
temos
e
, então
Resposta
A linearização é
e sobre
o erro satisfaz