Nos exercícios 55 e 56, encontre a linearização L(x, y) da função f(x, y) no ponto P_{0}. Então encontre um limitante superior para a magnitude do erro E na aproximação f(x, y) \approx L(x, y) sobre o retângulo R.
f(x, y)=x y-3 y^{2}+2, \quad P_{0}(1,1)
R:|x-1| \leq 0,1,|y-1| \leq 0,2

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x,y)=x y - 3y^2 +2 no ponto P_0=(1,1) e um limitante superior para o erro
E(x,y)=f(x,y)-L(x,y)
sobre o retângulo
R=\bigl\{(x,y)\mid |x-1|\le0,1,\;|y-1|\le0,2\bigr\}.
O conteúdo é aproximação linear (diferencial) e controle do resto via derivadas segundas (fórmula de Taylor com resto).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e as avaliamos em P_0:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x y -3y^2+2)=y, \quad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x y -3y^2+2)=x-6y.
Em (1,1) temos
f(1,1)=1\cdot1-3\cdot1^2+2=0, \quad f_x(1,1)=1, \quad f_y(1,1)=1-6\cdot1=-5.

Passo 3

A linearização é
L(x,y)=f(1,1)+f_x(1,1)\,(x-1)+f_y(1,1)\,(y-1) =(x-1)-5(y-1).
Simplificando,
L(x,y)=x-5y+4.

Passo 4

Para controlar o erro usamos as derivadas segundas:
f_{xx}(x,y)=0, \quad f_{xy}(x,y)=1, \quad f_{yy}(x,y)=-6.
Como são constantes, sobre R valem em módulo
M_{xx}=0,\quad M_{xy}=1,\quad M_{yy}=6.

Passo 5

Pela fórmula do resto de Taylor em duas variáveis,
|E(x,y)|\le\frac{1}{2}\Bigl(M_{xx}(x-1)^2 +2M_{xy}|x-1||y-1|+M_{yy}(y-1)^2\Bigr).
No retângulo R temos |x-1|\le0.1 e |y-1|\le0.2, então
|E|\le\frac{1}{2}\bigl(0 +2\cdot1\cdot0.1\cdot0.2+6\cdot0.2^2\bigr) =\frac{1}{2}(0.04+0.24)=0.14.

Resposta

A linearização é
L(x,y)=x-5y+4,
e sobre R o erro satisfaz
|E(x,y)|\le0.14.

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