Nos exercícios 7-10, faça o gráfico da função. Determine seu domínio, sua imagem e as coordenadas das intersecções com os eixos x e y.
y=e^{x}+3

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = e^{x} + 3
além de determinar (i) o domínio, (ii) a imagem e (iii) as coordenadas das intersecções com os eixos x e y.
O conteúdo principal aqui é a transformação de uma função exponencial básica e^{x} por um deslocamento vertical.

Passo 2

Para achar o domínio de
y = e^{x} + 3
lembre que a função exponencial e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Como somar 3 não restringe valores de x, temos
\text{Domínio} = \{\,x\in\mathbb{R}\}\,.í

Passo 3

A imagem de e^{x} é (0,\infty), isto é, e^{x} varia entre valores estritamente positivos. Ao somar 3, deslocamos todo o conjunto de valores para cima em 3 unidades. Logo
\text{Imagem} = (3,\infty)\,.

Passo 4

Intersecção com o eixo y: basta tomar x=0.
y = e^{0} + 3 = 1 + 3 = 4.
Portanto o ponto de intersecção com o eixo y é
(0,4).
Intersecção com o eixo x: resolvemos
e^{x} + 3 = 0
e^{x} = -3.
Como e^{x}>0 para todo x, não há solução real. Logo não existe intersecção com o eixo x.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Comece pelo gráfico de y=e^{x}.
  • Desloque-o verticalmente 3 unidades para cima.
  • A assíntota horizontal de y=e^{x} em y=0 vira a assíntota de y=e^{x}+3 em
y = 3.
  • Marque o ponto (0,4).
  • Para referência, no ponto x=-1 tem y=e^{-1}+3\approx3{,}37, e para x=1 tem y=e^{1}+3\approx5{,}72.
O esboço mostra uma curva que cresce exponencialmente à direita, decai suavemente para se aproximar de y=3 à esquerda, e passa por (0,4).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (3,\infty)
Intersecção com o eixo x: nenhuma
Intersecção com o eixo y: (0,4)

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