38 Explique por que a curva paramétrica descrita por
\\left(t^{3}, 2 t^{3}\\\right)\\, com \(t sendo um número real, é uma reta.)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(t^{3},2\,t^{3}\bigr), com t\in\mathbb{R}.
O conteúdo é conversão de forma paramétrica para forma cartesiana, e vamos precisar eliminar o parâmetro t.

Passo 2

Como x = t^{3}, temos t^{3}=x. Substituindo em y, obtemos
y = 2\,t^{3} = 2x.
Portanto, os pontos da curva satisfazem a equação cartesiana y=2x.

Passo 3

Visto que t percorre todos os reais, o valor de t^{3} também percorre todos os reais. Logo, a imagem da curva é exatamente toda a reta de equação y=2x.

Resposta

A curva paramétrica é a reta de equação y=2x.

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