58 Explique por que
\log \sqrt{0,07}=\frac{\log 7}{2}-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\log \sqrt{0,07} \;=\;\frac{\log 7}{2}-1.
O conteúdo é manipulação de logaritmos: vamos usar a decomposição de números em potências de 10 e as propriedades
–logaritmo do produto,
–logaritmo de potência.

Passo 2

Escrevemos o número dentro da raiz como produto de um inteiro por uma potência de 10. Note que
0,07 = 7 \times 10^{-2}.

Passo 3

Tomamos a raiz quadrada desse produto, usando \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}:
\sqrt{0,07} = \sqrt{7 \times 10^{-2}} = \sqrt{7}\,\sqrt{10^{-2}} = \sqrt{7}\times 10^{-1}.

Passo 4

Aplicamos o logaritmo na expressão obtida e usamos
\log(xy)=\log x+\log y e \log(10^{-1})=-1:
\log \sqrt{0,07} = \log\bigl(\sqrt{7}\times 10^{-1}\bigr) = \log\sqrt{7} + \log 10^{-1} = \log\bigl(7^{\tfrac12}\bigr) -1.
Finalmente, aplicando \log(a^b)=b\,\log a, vem
\log\sqrt{0,07} = \tfrac12\,\log 7 - 1.

Resposta

\log \sqrt{0,07} = \frac{\log 7}{2} - 1.

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