2 Explique como são definidos os logaritmos.
Passo 1
O enunciado pede para explicar como são definidos os logaritmos. O conteúdo envolve a função exponencial e sua inversa: vamos ver primeiro o que é a exponenciação em base
e depois definir o logaritmo como sua função inversa.
Passo 2
Para uma base
positiva e diferente de 1, isto é,
e
, a função exponencial é
Nessa função, qualquer real
é levado a um número positivo
.
Passo 3
O logaritmo na base
é definido como a função inversa da exponencial
. Em outras palavras, para cada
existe um único
tal que
Chamamos esse
de
. Logo, por definição:
Passo 4
Da definição vem imediatamente que o domínio de
é
(pois só faz sentido tomar logaritmo de números positivos) e a imagem é
. Além disso, a condição
,
garante que
seja bijetora e, portanto, invertível.
Passo 5
Em particular, a base especial
(onde
) dá origem ao logaritmo natural
Para mudar de base entre duas bases
e
, usa-se a fórmula
Resposta
O logaritmo de
na base
,
, é o número
tal que
Equivalente a dizer