2 Explique como são definidos os logaritmos.

Passo 1

O enunciado pede para explicar como são definidos os logaritmos. O conteúdo envolve a função exponencial e sua inversa: vamos ver primeiro o que é a exponenciação em base a e depois definir o logaritmo como sua função inversa.

Passo 2

Para uma base a positiva e diferente de 1, isto é, a>0 e a\neq1, a função exponencial é
\exp_a\colon \mathbb{R}\to(0,\infty), \quad \exp_a(y)=a^y.
Nessa função, qualquer real y é levado a um número positivo a^y.

Passo 3

O logaritmo na base a é definido como a função inversa da exponencial \exp_a. Em outras palavras, para cada x>0 existe um único y\in\mathbb{R} tal que
a^y = x.
Chamamos esse y de \log_a(x). Logo, por definição:
\log_a(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x.

Passo 4

Da definição vem imediatamente que o domínio de \log_a é (0,\infty) (pois só faz sentido tomar logaritmo de números positivos) e a imagem é \mathbb{R}. Além disso, a condição a>0, a\neq1 garante que \exp_a seja bijetora e, portanto, invertível.

Passo 5

Em particular, a base especial a=e (onde e\approx2,718) dá origem ao logaritmo natural
\ln(x)=\log_e(x).
Para mudar de base entre duas bases a e b, usa-se a fórmula
\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}.

Resposta

O logaritmo de x>0 na base a>0, a\neq1, é o número \log_a(x) tal que
a^{\log_a(x)}=x.
Equivalente a dizer
\log_a(x)=y\quad\text{se, e somente se,}\quad a^y=x.

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